Il corso di Geometria ha due obiettivi fondamentali. Il primo è di educare lo studente al ragionamento logico deduttivo utilizzando un linguaggio formale appropriato. Il secondo obiettivo è di presentare agli studenti gli argomenti fondamentali di algebra lineare, geometria analitica e differenziale, delle funzioni in più variabili a valori reali, raccordandosi ai corsi di Analisi Matematica I e Analisi Matematica II.

Capacità di seguire le dimostrazioni, di costruire esempi e controesempi; comprensione delle proprietà essenziali della geometria analitica dello spazio e dei rudimenti della teoria degli spazi vettoriali, capacità di operare con le matrici e risolvere sistemi di equazioni lineari. Inoltre si richiede la comprensione delle nozioni fondamentali relative alla continuità e alla differenziabilità delle funzioni in più variabili.

Numeri reali e complessi, equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, calcolo differenziale e integrale in una variabile.

CALCOLO VETTORIALE
Concetto di vettore geometrico e operazioni con i vettori. Prodotto scalare, distanze, angoli. Prodotto vettoriale, misto, aree e volumi.
GEOMETRIA DEL PIANO E DELLO SPAZIO
Geometria del piano: rette e coniche. Geometria dello spazio: rette e piani, equazioni cartesiane e parametriche. Rotazioni nel piano e nello spazio. Curve parametriche nel piano e nello spazio (funzioni di variabile reale a valori in R^n). Vettore e retta tangente. Lunghezza di un arco di curva e integrale curvilineo.
SPAZI VETTORIALI
Definizione di spazio vettoriale e sottospazio. Combinazione lineare; generatori. Dipendenza e indipendenza lineare; basi. Dimensione di spazi e sottospazi. Operazioni sui sottospazi. Spazi R^n e loro sottospazi.
MATRICI E SISTEMI
Matrici e operazioni (somma, prodotto tra matrici, prodotto di uno scalare per una matrice, trasposizione). Riduzione di una matrice e suo rango. Determinante, potenze e inverse di matrici quadrate. Sistemi di equazioni e loro forma matriciale. Teorema di Rouchè-Capelli e Teorema di Cramer . Spazi generati dalle righe o dalle colonne di una matrice e loro dimensione.
APPLICAZIONI LINEARI
Applicazioni lineari tra spazi vettoriali. Isomorfismi. Matrici e applicazioni lineari. Nucleo e Immagine. Endomorfismi, cambiamento di base.
DIAGONALIZZAZIONE
Autovalori, autovettori e autospazi. Molteplicità algebrica e geometrica di un autovettore. Condizioni necessarie e sufficienti per la diagonalizzabilità. Matrici simmetriche e matrici ortogonali. Diagonalizzazione di matrici simmetriche. Forme quadratiche.
FUNZIONI IN PIU’ VARIABILI
Funzioni con dominio in R^n. Elementi di topologia. Limiti e continuità. Derivate parziali e matrice Jacobiana. Funzione in due variabili a valori reali. Differenziabilità, gradiente e piano tangente al grafico. Derivate seconde, matrice Hessiana. Sviluppi in serie di Taylor. Punti critici.
SUPERFICI E QUADRICHE
Sfere, quadriche (ellissoidi, paraboloidi, iperboloidi, coni e cilindri). Superfici in forma parametrica. Vettore normale e piano tangente in un punto.

Il corso consta di lezioni ed esercitazioni.

I testi consigliati saranno comunicati a lezione dal docente titolare dell’insegnamento. Forniamo comunque una lista di testi frequentemente utilizzati.
Teoria
1) L. Gatto, Lezioni di Algebra lineare e Geometria, Clut 2013.
2) S.Greco, P. Valabrega, Lezioni di Geometria, Vol. 1 Algebra lineare, Vol. 2 Geometria Analitica, Ed. Levrotto e Bella, Torino 2009.
3) A. Sanini, Lezioni di Geometria, Ed. Levrotto e Bella, Torino 1993.
4) C. Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica II, Springer-Verlag 2014.
Esercizi
1) E. Carlini, 50 quiz di Geometria, Celid 2011.
2) G. Casnati, M.L. Spreafico, Allenamenti di Geometria, Ed. Esculapio, Bologna 2013.
3) J. Cordovez, Chissà chi lo sa?, Clut 2013.
4) A. Sanini, Esercizi di Geometria, Ed. Levrotto e bella, Torino 1993.

Materiale Utile si trova anche in rete, sul sito del Politecnico di Torino o nelle pagine web dei singoli corsi.

Teoria
1) L. Gatto, Lezioni di Algebra lineare e Geometria, Clut 2013.
2) S.Greco, P. Valabrega, Lezioni di Geometria, Vol. 1 Algebra lineare, Vol. 2 Geometria Analitica, Ed. Levrotto e Bella, Torino 2009.
3) C. Canuto, A. Tabacco, Analisi Matematica II, Springer-Verlag 2014.

Esercizi
1) G. Casnati, M.L. Spreafico, Allenamenti di Geometria, Ed. Esculapio, Bologna 2013.
2) J. Cordovez, Chissà chi lo sa?, Clut 2013.
3) C.Baldovino, V.Lanza, Algebra Lineare e Geometria, Ed. Esculapio, Bologna 2015.
4) M.Ferrarotti, M.Abrate, Lezioni di Algebra Lineare con esercizi svolti, Celid 2016.

Materiale utile si trova anche in rete, sul sito del Politecnico di Torino o nelle pagine web dei singoli corsi.

La verifica dell’apprendimento avviene mediante una prova scritta, della durata di 1 ora e 30 minuti, che si compone di 10 quiz a risposta multipla e due esercizi. Vengono valutati solo i compiti di quegli studenti che hanno risposto correttamente ad almeno 5 quiz. Ogni quiz vale 2 punti; ogni esercizio ha un valore massimo di 6 punti : il punteggio effettivamente assegnato dipende dalla correttezza, completezza ed esposizione dello svolgimento.
Durante lo scritto non è ammesso l’uso della calcolatrice e la consultazione di appunti.
La prova orale è a discrezione del docente.