PERIODO: NOVEMBRE 2016


Finalità del corso:
Il corso propone alcuni metodi per affrontare lo studio della dinamica di sistemi quantistici in cui la non linearita` e le interazioni many-body determinano un comportamento complesso. Tra i vari argomenti si discutono: i metodi degli stati coerenti e dell'algebra dinamica, la soluzione di problemi di Schroedinger con il time-dependent variational principle, e lo schema di approssimazione adiabatica. Tali metodi vengono applicati a vari sistemi della fisica della materia condensata o del-
l' ottica quantistica quali il modello degli amplificatori parametrici, il modello per l'interazione radiazione-atomi a due livelli, i condensati di Bose-Einstein accoppiati, il modello di Bose-Hubbard per superfluidi, il modello di Hubbard per i fermioni.

Aims of course:
This course presents different methods to approach the dynamics of quantum systems whose complex behavior is due to both their many-body and nonlinear character. Different topics are discussed such as the coherent-state method, the dynamical-algebra method, the solution of Schroedinger problems by means of the Time-dependent variational principle, and the adiabatic approximation. Such theoretic techniques are applied to physical systems of condensed-matter
Physics and of Quantum Optics such as the parametric-amplifier models, the interaction of two-level atom with radiation, superfluids confined in optical lattices, arrays of Bose-Einstein condensates and the fermion Hubbard model.

Programma del corso:

1. Tre definizioni indipendenti di Stato Coerente (SC). Definizione di spectrum generating algebra e di algebra dinamica.

2. Soluzione dell'equazione di Schroedinger dell'oscillatore armonico (OA) mediante la definizione gruppale degli SC. Carattere semiclassico degli SC e di Varieta` degli SC.

3. Interazione tra radiazione e sistemi atomici: modellizzazione con una Hamiltoniana di oscillatori armonici a parametri tempo dipendenti. Studio della dinamica con gli SC.

4. Soluzione di problemi con Hamiltoniana a parametri tempo-dipendenti nello schema dell'approssimazione adiabatica. Fase di Berry e correzione geometrica. Applicazioni.

5. Stati Coerenti Generalizzati per algebre a struttura piu` complessa. SC per i gruppi SU(2), SU(3). Arbitrarieta` del vettore estremale. SC di su(1,1) ed effetto di squeezing.

6. Gruppo di isotropia e di algebra di isotropia massimale. Scelta del vettore estremale. Carattere semiclassico degli SC Generalizzati. Esempi.

7. Formulazione della dinamica quantistica di modelli a molti corpi su reticolo in termini di SC e principio variazionale dipendente dal tempo (TDVP). Applicazioni.

8. Approccio semiclassico alla dinamica di array di 2/3 condensati di Bose interagenti.

9. Bosoni interagenti in reticoli ottici: il modello di Bose-Hubbard. Proprieta`. Approccio variazionale e SC. Modello di Hubbard e stati coerenti di spin.



Course contents

1. Three independent definitions of Coherent States (CS). Definition of Dynamical Algebra and spectrum generating algebra.

2. Solution of the Schroedinger equation for the harmonic oscillator (HO) within the CS picture. Semiclassical charcter of CS and of CS Manifold.

3. Generalized HO Hamiltonian with time-dependent parameters as a model for the interaction between radiation and atomic systems. The model dynamics in terms of CS.

4. Solution of problems involving time-dependent Hamiltonian within the adiabatic approximation scheme. Berry's phase and geometric correction. Applications.

5. Generalized CS for algebras with a more complex structure. CS of group SU(2) and SU(3). Arbitrariness of the extremal vector. CS of su(1,1) and squeezing effect.

6. Isotropy Group and of Maximal Isotropy subalgebra. Semiclassical character of generalized CS and the extremal-vector choice. Applications.

7. Quantum dynamics of many-particle lattice models based on the CS picture and the time-dependent variational principle (TDVP). Applications.

8. Semiclassical approach to the dynamics of Bose condensates in a 2/3-well system.

9. Interacting bosons in optical lattices: the Bose-Hubbard model. Properties. CS variational approach. The Hubbard model and spin coherent states.