Il corso è erogato in lingua inglese.

Gli obiettivi principali dell’insegnamento sono: la descrizione e classificazione di equazioni alle derivate parziali rappresentanti modelli matematici generati da problemi classici dell’ingegneria, la costruzione e analisi di metodi agli elementi finiti per la risoluzione numerica di tali equazioni. Verranno inoltre fornite le conoscenze necessarie per risolvere problemi di ingegneria mediante programmi di calcolo scritti in ambiente Matlab.

Capacità di riconoscere e classificare un’ equazione alle derivate parziali. Conoscenza dei metodi degli elementi finiti per la risoluzione numerica di problemi di ingegneria descritti da equazioni differenziali; capacità di selezionare o costruire un metodo efficiente per la risoluzione di un dato problema, utilizzando il software Matlab.

Nozioni di base di algebra lineare, di analisi matematica I e II, di calcolo numerico e capacità di programmazione in ambiente Matlab.

- Generalità sulle equazioni alle derivate parziali e sui metodi numerici (0.5 CFU)
Classificazione delle equazioni del secondo ordine e descrizione di alcuni esempi classici.
Formulazioni deboli.
Consistenza, stabilità e convergenza di un metodo numerico.
- Il metodo degli elementi finiti (FEM) per problemi lineari ellittici (2.5 CFU).
Elementi finiti e spazi lineari di elementi finiti. Definizioni ed esempi. Alcuni risultati fondamentali di teoria
dell’approssimazione.
Applicazione del metodo FEM a problemi lineari ellittici in 1D e 2D, con vari tipi di condizioni al bordo.
Costruzione delle matrici di rigidezza. Formule di integrazione numerica.
Metodi iterativi per sistemi lineari sparsi.
Alcuni risultati di convergenza.
- Il metodo FEM per problemi lineari dipendenti dal tempo (1.5 CFU)
Formulazione debole di problemi parabolici e iperbolici. Applicazione del metodo FEM.
Sistemi ODE stiff. Metodi numerici.
Schemi alle differenze finite per l’avanzamento nel tempo.

Nel precedente programma sono incluse anche delle esercitazioni in aula, per complessivi 1.5 CFU, durante le quali vengono sottolineati con esempi aspetti particolarmente importanti degli argomenti trattati nelle lezioni, e svolti esercizi che contribuiscono ad una miglior comprensione di quanto presentato nelle lezioni.
Sono inoltre previste esercitazioni in laboratorio (1.5 CFU) per la simulazione numerica delle proprietà dei metodi presentati e per la risoluzione, in ambiente Matlab, di alcuni problemi di ingegneria.

Note del docente, disponibili sul Portale della Didattica.
A. Quarteroni, Numerical Models for Differential Problems, Springer Verlag, 2009.
Materiale didattico relativo alle esercitazioni in aula e in laboratorio, messo a disposizione degli studenti sul Portale della Didattica.

Negli appelli in calendario l'esame consiste in una prova scritta, della durata di 2 ore, e riguarda l'intero programma.
Tale prova consiste in due esercizi e una domanda di natura teorica. In ognuno dei due esercizi, cui vengono attribuiti 13 punti, viene chiesto allo studente di applicare il metodo degli elementi finiti ad un problema differenziale, descrivendo i passi principali richiesti per ottenere la sua soluzione. Lo studente deve dimostrare di aver capito come funziona il metodo e quali approssimazioni vengono effettuate.
La terza domanda, cui vengono assegnati 4 punti, riguarda definizioni e proprietà relative al metodo degli elementi finiti o a questioni ad esso collegate.
Durante le prove scritte non è consentito consultare testi o appunti e utilizzare calcolatrici.