PERIODO: MAGGIO-GIUGNO-LUGLIO

Questo corso fornisce una descrizione dettagliata di tecniche avanzate agli elementi finiti utilizzate per l’analisi
strutturale e l’ottimizzazione delle strutture. Gli studenti di dottorato acquisiscono conoscenze sull’attività di
ricerca nel campo della modellazione a elementi finiti impiegati su scala macro-meso strutturale. Si discutono
modelli computazionali utilizzati dai progettisti per prevedere il comportamento delle strutture metalliche a
guscio, a guscio nervato e integrali e delle strutture in materiale composito (laminati e sandwich) utilizzati
nell’ingegneria aerospaziale, navale, ferroviaria e automobilistica. Viene spiegato come è perché la ricerca e
proseguita nel campo, quali obiettivi sono stati raggiunti e quali sono gli obiettivi futuri. Il corso promuove la
capacità di sfruttare pienamente le prestazioni strutturali attraverso l’uso di appropriati metodi di analisi.
Contemporaneamente, i partecipanti apprenderanno tecniche utili per la loro attività di ricerca futura in ambito
strutturale.



This course provides a detailed description of advanced finite element techniques employed for structural
analysis and performance optimization of structures. The knowledge achieved by PhD students pertains
research activities in the field of macro-meso structural modeling by finite elements. Computational models used
by the designers for predicting the behavior of monocoque and semi-monocoque, metallic or laminated and
sandwich composite structures used in aerospace, shipbuilding, railways and automotive applications are
discussed. How and why research progressed in the field, which are the achievements to date attained and the
future challenges are explained. The course will promote the capability to fully exploit the structural performance
through the use of appropriate analysis methods. Contemporaneously, attendant will learn techniques useful for
their future research activity.

Generalizzazione di concetti sugli elementi finiti. Formulazione debole equivalenete alle equazioni
differenziali (formulazione agli spostamenti). Lavoro virtuale, potenziale totale e forma debole delle equazioni di
equilibrio. Principi variazionali naturali e loro relazioni con le equazioni di governo. Principi variazionali vincolati:
penalty function method, metodo dei minimi quadrati e moltiplicatori di Lagrange. Errore di discretizzazione e
grado di convergenza. Criteri di convergenza. (ore 6).

Elementi misti. Discretizzazione delle forme miste. Stabilità e robustezza delle formulazioni miste. Metodi al
contorno. Stima degli errori e processo di ottenimento dei risultati: punti ottimali, valutazionne di gradienti e
tensioni. Stima degli errori di valutazione. Comportamento asintotico e robustezza. Babushka patch

test. (ore 8).

Problemi dipendenti dal tempo. Formulazione diretta, approssimazione discreta nel tempo. Algoritmi single e
multiple step. Applicazione a un problema di impatto a basa velocità su pannelli compositi laminati e sandwich.
(ore 6).

Conduzione del calore. Equazione quasi-armonica generale e relativa discretizzazione in elementi finiti.
Esempi e applicazioni pratiche: analisi di gradienti di tensioni indotte da effetti termici. (3 ore).

Elementi gerarchici. Significato e completezza delle funzioni di interpolazione. Approssimazione globale e
locale mediante elementi finiti. Discretizzazione adattativa. Applicazione a elementi gerarchici piastra e solidi. (3
ore).

Elementi singolari per la meccanica della frattura. Patch test, integrazione ridotta ed elementi non conformi.
Patch test generalizzato e applicazioni. Funzioni di forma incompatibili che soddisfano il patch test. Valutazione
della robustezza. Applicazione a elementi solidi singolari con ordine della singolarità variabile. (ore 4).

Generalization of finite element concepts. Weak statement equivalent to differential equations (displacement-
based form). Virtual work and total potential energy and weak form of equilibrium equations. Natural variational
principles and their relation to governing equations. Constrained variational principles: penalty function method,
least square method and Lagrange multipliers. Discretization error and convergence rate. Convergence criteria.
(6 hours).

Mixed elements. Discretization of mixed forms. Stability of mixed approximation and robustness. Boundary
methods. Recovery process and error estimates: optimal sampling points, recovery of gradients and stresses.
Error estimates by recovery. Asymptotic behavior and robusteness; Babushka patch test. (8 hours).

Time-dependent problems. Direct formulation, discrete approximation in time. Single and multi-step
algorithms. Application to a low velocity impact problem on laminated and sandwich composite panels. (6
hours).

Heat conduction. General quasi-harmonic equation and finite element discretization. Examples and practical
applications: analysis of thermally induced stress gradients. (3 hours).

Hierarchical elements. Meaning and completeness of interpolation functions. Global and local finite element
approximation. Adaptive mesh refinement. Application to plate and brick type hierarchical elements. (3 hours).

Singular elements for fracture mechanics. Patch test, reduced integration and non-conforming elements.
Generalized patch test and applications. Incompatible shape functions which satisfy the patch test. Assessment
of robustness. Examples. Application to a singular solid element with variable singularity power. (4 hours).