Nella parte del corso dedicata ai metodi variazionali verranno forniti alcuni strumenti classici di base, per la corretta impostazione di problemi di minimizzazione potenzialmente anche molto generali.
Verrà inoltre mostrato come numerosi problemi, pur non nascendo inizialmente dalla minimizzazione di un funzionale, possono essere inquadrati in un contesto variazionale, presentando in tal modo il Calcolo delle Variazioni come uno strumento utile per la risoluzione di problemi di natura molto diversa.

Nella parte del corso dedicata ai metodi multiscala verranno presentati i fondamenti matematici dell'analisi tempo-frequenza e tempo-scala (ondine). Si illustreranno, in particolare, gli strumenti matematici alla base delle moderne tecniche di subband coding, compressione e denoising di segnali e immagini digitali, fornendo quindi il quadro matematico dove questi problemi trovano la loro naturale collocazione.

Oltre a princìpi e tecniche di tipo generale, verranno presentati numerosi esempi, alcuni dei quali potranno essere approfonditi e studiati in dettaglio, anche con tecniche più specifiche.

Presentazione e impostazione di alcuni problemi classici: isoperimetri, brachistocrona, catenaria e superfici di rotazione di area minima. Cenni storici: il Principio di Dirichlet e il controesempio di Weierstrass.
L'approccio moderno e la ricerca di compattezza e semicontinuità.
I "metodi diretti" e il ruolo della convessità.
Il quoziente di Rayleigh e applicazioni agli autovalori.
Problemi di tipo Sturm-Liouville. Problemi al contorno di tipo diverso.
Derivate di Frechet e Gateaux.
Condizioni necessarie di ottimalità ed equazioni di Eulero-Lagrange.
Applicazioni alle equazioni differenziali.
Gli spazi di Sobolev come "ambiente naturale".
Soluzioni classiche e soluzioni deboli.
Cenni sulla regolarità nel caso unidimensionale, e ritorno alla soluzione classica.
Cenni di applicazioni alle equazioni alle derivate parziali.
Le equazioni di Laplace e di Poisson.
Problemi vincolati e moltiplicatori di Lagrange. Esempi e applicazioni. Studio dettagliato di alcuni esempi specifici.

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Richiami su spazi di Hilbert, serie e trasformata di Fourier. Teoremi di campionamento.
Trasformata di Fourier short-time e Wigner, analisi e ricostruzione.
Analisi di Fourier discreta, banchi di filtri.
Analisi multirisolutiva, equazione di raffinamento, algoritmo piramidale.
Costruzione di ondine, regolarita', approssimazione.
Introduzione ai metodi variazionali.

Il materiale didattico verrà estratto dai seguenti testi
A. Boggess and F. Narcowich, A first course in wavelets with Fourier analysis, Wiley, 2nd edition 2009.
C. Canuto, A. Tabacco, Ondine biortogonali, teoria e applicazioni, Quaderni UMI, Pitagora, Bologna 1999.
K. Gröchenig, Foundations of Time-Frequency Analysis, Birkhauser, 2001.
R.G. Stockwell, Basis for efficient representation of the S-transform, Digital Signal Processing, 17:371-393, 2007.