L’insegnamento di Analisi Matematica I costituisce la cerniera tra la scuola media superiore e l’università.
Lo scopo principale dell’insegnamento è di abituare gli studenti a seguire la concatenazione di semplici argomentazioni e di insegnare loro gli elementi fondamentali del calcolo differenziale e integrale per le funzioni di una variabile, con applicazioni alle equazioni differenziali ordinarie del primo e del secondo ordine.

Capacità di seguire una catena di ragionamenti logici; comprensione delle proprietà essenziali del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile. Acquisizione di una sufficiente manualità di calcolo.

Insiemi numerici, equazioni e disequazioni, geometria analitica, trigonometria. Le funzioni elementari e le loro prime proprietà.

Richiami: insiemi, operazioni sugli insiemi e simboli logici.
Insiemi numerici, massimi e minimi, estremi. Proprietà di completezza dei numeri reali e sue conseguenze.
Funzioni: iniettività e suriettività; funzioni composte e inverse.
Funzioni reali di variabile reale: funzioni elementari, monotonia e inverse delle funzioni elementari. (Circa 15 ore)
Limiti e continuità: Limiti di funzioni e successioni; continuità. Teoremi sui limiti: unicità del limite, permanenza del segno e limitatezza locale, teoremi di confronto. Limiti di funzioni monotone. Algebra dei limiti. Forme indeterminate. Confronto locale di funzioni. Simboli di Landau. Infiniti e infinitesimi. Ordine di infinito e di infinitesimo, parte principale rispetto a un campione. Asintoti.
Il numero e. Limiti notevoli trigonometrici ed esponenziali. Funzioni continue su un intervallo: esistenza degli zeri e dei massimi e minimi. (Circa 24 ore)
Derivate: significato geometrico e fisico. Regole di derivazione. Derivate delle funzioni elementari.
Derivate e continuità. Punti di non derivabilità, punti di estremo e punti critici. Teorema di Fermat.
Funzioni derivabili su intervalli e teoremi fondamentali del calcolo differenziale (Rolle e Lagrange) e loro conseguenze. Regola di de L'Hôpital.
Formula di Taylor e sviluppi di Maclaurin fondamentali.
Uso degli sviluppi di Taylor nello studio del comportamento locale delle funzioni: confronto di funzioni, estremi, convessità. Applicazioni allo studio del grafico di funzioni. (Circa 23 ore)
Primitive e regole di calcolo delle primitive; primitive di funzioni razionali. Integrale indefinito. L’integrale definito per funzioni continue a tratti. Proprietà dell’integrale. Media integrale, teorema della media e
Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale. Relazione tra primitive e integrazione definita.
Integrali impropri: definizioni e criteri di convergenza. (Circa 21 ore)
Numeri complessi ed equazioni differenziali: forma algebrica e forma trigonometrica dei numeri complessi. Parte reale, parte immaginaria, modulo e argomento. Radici dei numeri complessi. Teorema Fondamentale dell'Algebra. Esponenziale di un numero complesso e formule di Eulero.
Equazioni differenziali: il problema di Cauchy. Equazioni differenziali del primo ordine, lineari e a variabili separabili.
Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. (Circa 17 ore)

L’insegnamento consta di 60 ore di lezione ed 40 ore di esercitazioni.

I testi di seguito elencati sono da considerarsi indicativi. Maggiori dettagli verranno forniti dal docente in aula.
C. Canuto, A. Tabacco. Analisi Matematica I. Springer-Verlag Italia, 2014.
S. Lancelotti. Lezioni di Analisi Matematica 1. Celid, 2013.
F. Nicola. Analisi Matematica I. Appunti delle lezioni. CLUT, 2013.

L'esame consiste in un test seguito da una prova scritta obbligatoria e, se richiesta, da una prova orale. Il test, della durata di un'ora, consiste in 20 domande a risposta multipla al calcolatore, con quesiti anche di tipo teorico. Ogni risposta esatta vale un punto, e il test permette quindi di conseguire un punteggio massimo di 20. Se il punteggio conseguito al test e' inferiore a 12, l'esame viene registrato come respinto; altrimenti lo studente prosegue il suo esame sostenendo una prova scritta della durata di un'ora, che consiste sia di esercizi sia di domande teoriche. La prova scritta permette di conseguire un punteggio massimo di 13. Se il punteggio conseguito nella prova scritta e' inferiore a 5, l'esame viene registrato come respinto; altrimenti il voto finale e' la somma dei voti del test e della prova scritta, a meno che venga richiesta, da parte del docente (o dello studente, qualora il voto superi 18/30), una prova orale. In tal caso il voto finale terrà conto anche della prova orale.