Il corso completa la formazione di base dello studente con riferimento ai contenuti dei corsi di Analisi Matematica e Geometria. L'obiettivo del corso è di introdurre e sviluppare i concetti fondamentali della Geometria Differenziale di curve e superfici, con particolare attenzione agli aspetti computazionali. L'oggetto geometrico principale trattato nel corso sarà quello di varietà differenziabile (o liscia). Sotto un certo aspetto una tale varietà generalizza il concetto di spazio vettoriale: infatti una varietà differenziabile M è "localmente" interpretabile come R^n, una volta fissata una parametrizzazione (locale) di M, nello stesso modo in cui uno spazio vettoriale n-dimensionale V può essere riguardato come R^n una volta fissata una base di V. Quindi, in un certo senso, una varietà differenziabile è l'analogo "curvo" di uno spazio vettoriale. Molte proprietà e concetti studiati nell'ambito degli spazi vettoriali verrano recuperati studiando lo spazio tangente di una varietà differenziabile, che risulta essere uno spazio vettoriale.

- Capacità di formalizzare e risolvere problemi geometrici provenienti dallo studio di curve e superfici. - Applicazione delle conoscenze acquisite mediante l'uso del software Mathematica.

Conoscenza degli argomenti trattati nei corsi di Analisi Matematica I, Algebra Lineare e Geometria, Analisi Matematica II e Istituzioni di Algebra e Geometria.

1. Introduzione alle varietà differenziabili come spazi localmente Euclidei. Differenze e analogie con gli spazi vettoriali. Varietà differenziabile come analogo "curvo" di uno spazio vettoriale. 2. Definizione di varietà differenziabile (varietà liscia) tramite parametrizzazioni locali. Funzioni di transizione e atlante differenziabile. Spazio tangente, campi vettoriali e loro curve integrali. Sottovarietà di una varietà differenziabile. 3. Curve di spazi Euclidei come sottovarietà 1-dimensionali. Curve parametrizzate, regolari e bi-regolari: retta tangente e punti di flesso. Parametrizzazione mediante l'ascissa curvilinea. Come risolvere numericamente il problema della parametrizzazione mediante l'ascissa curvilinea. Lunghezza di un arco di curva e curve rettificabili. Come risolvere numericamente il problema della parametrizzazione di una curva piana data in forma implicita. Triedro di Frenet, curvatura e torsione. Teorema di esistenza e unicità delle curve bi-regolari con velocità, curvatura e torsione assegnate. Come determinare numericamente le curve con curvatura e torsione assegnata. 4. Superfici di spazi Euclidei come sottovarietà 2-dimensionali. Superfici parametrizzate, superfici regolari e loro spazio tangente. Superfici definite in forma implicita. Esistenza di parametrizzazioni locali delle superfici definite implicitamente. Genere di uno superficie e cenno sul teorema di classificazione delle superfici chiuse e limitate dello spazio Euclideo. Orientabilità di superfici. Cenni su integrazione su superfici. 5. Derivata covariante, connessione di Levi-Civita e geodetiche. Simboli di Christoffel. Prima e seconda forma fondamentale di una superficie. Curvature principali, curvatura Gaussiana e curvatura media. Teorema Egregio di Gauss. Teorema di Gauss-Bonnet.

L’insegnamento consta di lezioni ed esercitazioni in aula. Per ogni argomento saranno svolte esercitazioni mirate al calcolo simbolico e/o numerico e alla visualizzazione di esempi e classi rilevanti di curve o superfici. Il software utilizzato è Mathematica.

- E. Abbena, A. Gray, S. Salamon, Modern Geometry of Curves and Surfaces, Chapman & Hall/CRC - F. Fava, Elementi di Geometria Differenziale, Levrotto e Bella

Modalità di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale facoltativa; Elaborato scritto prodotto in gruppo;

Exam: Written test; Optional oral exam; Group essay;

... La valutazione è basata su uno o due progetti da svolgere durante il corso e su una prova scritta della durata di due ore divisa in due parti, ognuna della durata di un’ora. Lo scopo dei progetti è accertare l'abilità nel modellare e risolvere problemi che nascono dalla teoria svolta durante il corso mediante metodi numerici e/o simbolici. La modalità della prova scritta sarà comunicata durante il corso. Il voto finale viene determinato tenendo conto della prova scritta e del rendimento nel/nei progetto/i. I progetti sono complessivamente valutati fino ad un massimo di 6 punti. La prima parte della prova scritta è valutata fino ad un massimo di 12 punti e la seconda fino ad un massimo di 15 punti. Il voto finale è dato dalla somma dei punteggi parziali. La soglia minima per superare l'esame è di 6 punti nella prima parte della prova scritta e di 7,5 punti nella seconda parte della prova scritta. L’esame è superato con una votazione complessiva maggiore o uguale a 18. Un punteggio maggiore o uguale a 31 comporta l’attribuzione della lode. La valutazione degli studenti che non hanno svolto il/i progetto/i verrà effettuata sulla base della prova scritta e di un colloquio orale.

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.