L’insegnamento di Algebra Lineare e Geometria ha due obiettivi principali. Il primo è presentare argomenti di base di algebra lineare e geometria analitica, educando al ragionamento logico deduttivo utilizzando un linguaggio formale appropriato. Il secondo obiettivo è presentare agli studenti i concetti fondamentali di alcuni metodi numerici di base dell’algebra lineare e la loro implementazione in ambiente Matlab, software numerico ormai ampiamente diffuso nel campo dell’ingegneria. In questo modo si vuole mostrare come gli aspetti teorici, simbolici e numerici interagiscono tra loro.

Come in ogni corso di matematica di base si vuole sviluppare la capacità da parte dello studente di comprendere argomenti logico deduttivi sottolineando il ruolo delle ipotesi, ad esempio, tramite la costruzione di esempi e controesempi. Lo studente acquisisce strumenti e tecniche che permettono di operare con enti geometrici (vettori nel piano e nello spazio, rette, piani, coniche e quadriche) ed algebrici (sistemi di equazioni lineari, matrici, polinomi, autovalori, autovettori, spazi vettoriali e loro trasformazioni). Ad esempio, lo studente acquisisce la capacità di trattare simbolicamente sistemi di equazioni lineari e la capacità di determinarne le soluzioni, sia che queste rappresentino l'intersezione di due rette, gli autovettori di una matrice o le circonferenze passanti per due punti. Lo studente acquisisce inoltre le competenze necessarie per risolvere numericamente alcuni problemi di base di algebra lineare (ad esempio, risoluzione di un sistema lineare e calcolo di autovalori di matrici), che generalmente si presentano come passo intermedio o finale nella risoluzione di problemi più complessi, e che non possono essere trattati con metodi analitici. In particolare, lo studente impara a identificare, fra quelli presentati, il metodo numerico più efficiente, cioè quello che fornisce un’approssimazione della soluzione del problema con la maggiore accuratezza possibile e al minore costo computazionale. Tale obiettivo viene perseguito attraverso l’uso del software Matlab.

E` richiesta una buona dimestichezza con i concetti e gli strumenti matematici presentati nei corsi del primo semestre. In particolare, sono necessarie le nozioni base sui numeri reali e complessi, su equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, sul calcolo differenziale e integrale in una variabile forniti nel corso di Analisi Matematica I, e la conoscenza dei principali costrutti sintattici, che si usano per la programmazione, forniti nel corso di Informatica.

• Vettori nel piano e nello spazio e loro operazioni. Prodotto scalare, prodotto vettoriale e prodotto misto. Rette e piani nello spazio. Proiezioni ortogonali. • Matrici e loro operazioni. Matrici fortemente ridotte per righe. Sistemi di equazioni in forma matriciale e loro risoluzione con applicazioni geometriche. Equazioni matriciali, calcolo dell’inversa di una matrice. Determinanti. • Spazi vettoriali: definizioni, esempi ed applicazioni. Sottospazi vettoriali. Operazioni notevoli fra sottospazi. • Combinazioni lineari e dipendenza lineare. Metodo degli scarti. Basi di uno spazio vettoriale. Dimensione di uno spazio vettoriale. Dimensione di un sottospazio vettoriale finitamente generato. • Lo spazio vettoriale dei polinomi. La formula di Grassmann. • Applicazioni lineari. Immagine di un’applicazione lineare. Applicazioni lineari iniettive e suriettive. Isomorfismi. • Matrice di un’applicazione lineare. Endomorfismi e matrici quadrate. • Autovalori e autovettori. Autospazi di endomorfismi e di matrici. Polinomio caratteristico e spettro di un endomorfismo. Diagonalizzazione di un endomorfismo. • Basi ortonormali, matrici ortogonali. Algoritmo di Gram-Schmidt. Diagonalizzazione di matrici simmetriche mediante matrici ortogonali. Forme quadratiche e carattere di definizione. • Problemi metrici : distanza punto-retta, punto-piano, retta-retta. • Geometria quadratica: coniche, sfere. Quadriche non-degeneri in forma canonica. Riconoscimento di una quadrica. • Aritmetica di macchina: numeri di macchina, operazioni di macchina, errore di arrotondamento. Condizionamento di un problema numerico. Stabilità di un algoritmo. • Approssimazione di funzioni e di dati : interpolazione polinomiale e polinomiale a tratti (spline). Convergenza. • Sistemi lineari: condizionamento e metodi numerici diretti. Fattorizzazioni di matrici PA=LU, Choleski, QR e loro principali applicazioni. • Autovalori di matrici: condizionamento e metodi numerici (potenze, potenze inverse, QR (cenni)). Decomposizione ai valori singolari di matrici e applicazioni. Programma delle esercitazioni Le esercitazioni seguiranno gli argomenti delle lezioni. Esse in parte saranno svolte alla lavagna dal personale docente, in parte richiederanno la partecipazione attiva degli allievi. Inoltre, sono previste esercitazioni con l’uso del calcolatore durante le quali, mediante il software Matlab, si applicheranno i metodi presentati a lezione. Tali esercitazioni sono finalizzate all’approfondimento delle proprietà dei metodi studiati e all’analisi critica dei risultati ottenuti.

Il corso consta di lezioni (circa 60%), esercitazioni in aula (circa 30%) e di laboratorio (circa 10%).

Sul portale della didattica sarà disponibile il materiale didattico preparato dai docenti contenente anche esercizi svolti e proposti. Si fornisce una lista di testi di riferimento frequentemente utilizzati. M. Ferrarotti, M. Abrate “Lezioni di Algebra Lineare”, CELID, 2018. M. Ferrarotti, M. Abrate “Lezioni di Geometria”, CELID, 2018. L. Gatto, Lezioni di Algebra lineare e Geometria, CLUT, 2018. S. Greco, P. Valabrega, Lezioni di Geometria, Vol. 1 Algebra lineare, Vol. 2 Geometria Analitica, Ed. Levrotto e Bella, Torino 2009. G. Monegato, Metodi e algoritmi per il Calcolo Numerico, CLUT, 2008. A. Quarteroni, F. Saleri, P. Gervasio, Scientific Computing with MATLAB and OCTAVE, Springer, 2014. G. Strang, Algebra Lineare, Apogeo, 2008. G. Strang, Introduction to Linear Algebra, Wellesley-Cambridge Press, 2016. E. Carlini, LAG: the written exam, CLUT 2019. E. Carlini, 50 quiz di Geometria CELID 2011. G. Casnati, M.L. Spreafico, Allenamenti di Geometria, Ed. Esculapio, Bologna 2013. J. Cordovez, Chissà chi lo sa?, CLUT 2013. L. Scuderi, Laboratorio di Calcolo Numerico, CLUT, 2005.

Modalità di esame: Test informatizzato in laboratorio; Prova scritta (in aula); Prova orale facoltativa;

Exam: Computer lab-based test; Written test; Optional oral exam;

... La verifica dell'apprendimento riguarderà sia gli aspetti teorici sia gli aspetti applicativi del corso e sarà effettuata tramite un test informatizzato in laboratorio e una prova scritta in aula. Durante le prove è vietato l'utilizzo di libri, appunti e di apparecchiature elettroniche (ad eccezione del PC del laboratorio) e di altro materiale non autorizzato. Il test in laboratorio è costituito da domande a risposta multipla, la maggior parte delle quali è da risolvere con l'ausilio del software MATLAB. Questa prova, della durata di 45 minuti, contribuisce al più al 30% del voto finale. Le risposte errate comportano una penalizzazione; esiste una soglia minima al di sotto della quale lo studente non è ammesso alla prova scritta in aula e viene respinto. La prova scritta in aula è costituita da quiz a risposta multipla e da un esercizio. Questa prova, della durata di un’ora, contribuisce al più al 70% del voto finale. Esiste una soglia minima al di sotto della quale lo studente è respinto. Per superare l'esame lo studente deve partecipare ad entrambe le prove, superare le relative soglie e totalizzare un voto finale, somma dei voti parziali delle due prove, non inferiore a 18. Prova orale a discrezione del docente. Le modalità di svolgimento delle prove saranno rese disponibili anche sul portale della didattica e saranno illustrate durante il corso.

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.