L’insegnamento si rivolge principalmente agli studenti di Ingegneria Matematica e agli studenti interessati ai fondamenti matematici della elaborazione di segnali e immagini digitali in possesso di solide conoscenze di matematica di base. L’insegnamento tratta di alcuni temi di analisi armonica applicata e dei principi matematici dell'analisi dei segnali, partendo dall'analisi di Fourier discreta, fino ad arrivare all'analisi tempo-frequenza e tempo-scala (ondine). Da un punto di vista moderno i segnali sono rappresentati da vettori in uno spazio di Hilbert (di successioni o funzioni) e i problemi di approssimazione, compressione, denoising, si basano sulla ricerca di basi opportune rispetto alla quali i segnali di una data classe abbiano una rappresentazione sparsa. Tipicamente si tratta di basi strutturate, costruite attraverso operazioni di traslazione, modulazione e dilatazione a partire da una finestra/ondina fissata. I risultati classici della teoria dei segnali (campionamenti, filtri, banchi di filtri, ecc.) possono tutti rileggersi in questo linguaggio analitico-geometrico proprio dell'Analisi Funzionale che e’ illuminante in se’ ed e' utilizzato nella ricerca corrente in analisi tempo-frequenza e mathematical signal processing.

Comprensione degli argomenti trattati e relativa abilità di utilizzare adeguati strumenti matematici nelle discipline ingegneristiche. Precisamente, capacita' di formulare e studiare i problemi classici dell'analisi dei segnali in termini di operatori in spazi di Hilbert, proiezioni, sviluppi rispetto ad una base. Capacita' di utilizzare le basi piu' opportune per la rappresentazione, approssimazione e compressione di differenti classi di segnali. Capacita' di interpretare le varie trasformate in termini di localizzazione in tempo-frequenza e time-frequency tilings.

Gli argomenti trattati negli insegnamenti di Analisi Matematica I, II, Geometria e Analisi Funzionale.

1) Richiami su spazi di Hilbert, basi ortonormali. Basi di Riesz. Operatori di analisi e sintesi. Applicazioni all'identificazione facciale. 2) Sistemi lineari tempo-invarianti a tempo discreto. Analisi di Fourier discreta: trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT), trasformata zeta, trasformata di Fourier discreta (DTF). 3) Campionamento e interpolazione per funzioni e successioni. Localizzazione nel tempo e in frequenza, principio di indeterminazione e basi di ondine di funzioni. 4) Banchi di filtri. Trasformata ondina discreta (DWT), basi di ondine di successioni. Time-frequency tilings. 5) Trasformate tempo-frequenza continue: trasformata di Fourier a tempo brevi (STFT) e trasformata ondina continua (CWT). Relazione con il gruppo affine della retta. Applicazione alla individuazione delle singolarità.

L'insegnamento consiste di 40 ore di lezione e 20 ore di esercitazione in laboratorio. Le lezioni sono dedicate alla presentazione degli argomenti del programma dell'insegnamento con definizioni, proprietà ed alcune dimostrazioni ritenute utili per una migliore comprensione degli argomenti e per fornire gli strumenti necessari per sviluppare capacità di ragionamento logico-deduttivo da parte dello studente. Ogni argomento teorico trattato nelle lezioni viene arricchito da esempi introduttivi. Le ore di esercitazione sono dedicate allo studio di piccoli progetti nei laboratori informatici.

-- Note delle lezioni, fornite dal docente -- M. Vetterli, J. Kovacevic, V. Goyal, Foundations of signal processing, Cambridge University Press, 2014 -- J. Kovacevic, V. Goyal, M. Vetterli, Fourier and wavelets signal processing, in preparazione (entrambi disponibili alla pagina http://www.fourierandwavelets.org) Ulteriore materiale sarà reso disponibile sul Portale della Didattica.

Modalità di esame: Prova orale obbligatoria;

Exam: Compulsory oral exam;

... L’esame è volto ad accertare la conoscenza degli argomenti elencati nel programma ufficiale del corso e la capacità di applicare la teoria ed i relativi metodi di calcolo allo sviluppo di semplici progetti. In particolare, viene valutata la capacita' di formulare e studiare i problemi classici dell'analisi dei segnali in termini di operatori in spazi di Hilbert, proiezioni, sviluppi rispetto ad una base e la comprensione e capacita' di interpretazione, anche in termini qualitativi, delle trasformate e basi utilizzate correntemente per la rappresentazione sparsa di varie classi di segnali. Le valutazioni sono espresse in trentesimi e l’esame è superato se la votazione riportata è di almeno 18/30. L'esame consiste in una prova orale, che include la discussione di un esercizio o progetto assegnato durante il corso.

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.