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Complementi di algebra multilineare con applicazioni alla fisica matematica
01TBRRT
A.A. 2018/19
Lingua dell'insegnamento
Italiano
Corsi di studio
Dottorato di ricerca in Matematica Pura E Applicata - Torino
Organizzazione dell'insegnamento
| Didattica | Ore |
|---|---|
| Lezioni | 30 |
Docenti
| Docente | Qualifica | Settore | h.Lez | h.Es | h.Lab | h.Tut | Anni incarico |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Gatto Letterio | Professore Associato | MATH-02/B | 30 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Collaboratori
Didattica
| SSD | CFU | Attivita' formative | Ambiti disciplinari | *** N/A *** |
|---|
2018/19
PERIODO: APRILE - GIUGNO
Si intende offrire un corso di base allo scopo di approfondire nozioni elementari di algebra
multilineare (algebra tensoriale, algebra esterna, teoria dei determinanti, algebre di Clifford) con applicazioni alla
corrispondenza di Bose-Fermi nella teoria delle rappresentazioni dell'algebra di Heisenberg. Quest'ultimo
argomento sarà pretesto e motivazione per l'approfondimento proposto. Il corso, di natura essenzialmente
interdisciplinare, non richiede altri prerequisiti che analisi 1 e 2, algebra lineare del primo anno di studi e
rudimenti su anelli di polinomi.
PERIOD: APRIL - JUNE
The goal is to offer a basic course revisiting some elementary notions of multilinear
algebra (such as: tensor algebras, exterior algebras, theory of determinants and Clifford algebras, to name a
few) with applications to the boson-fermion correspondence in the representation theory of the Heisenberg
oscillar algebra. This last topic will be mainly a pretest to motivate the exposition of the preliminary part. The
course will be interdisciplinary in nature. No prerequisite is required beside Analysis 1 and 2, basic linear algebra
and a few rudiments concerning polynomial rings.
Moduli su un anello commutativo con unità, algebre associative, algebra tensoriale, algebra esterna, teoria dei
determinanti, (super)algebre di Lie, algebra universale inviluppante di un'algebra di Lie. L'esempio dell'algebra di
Weil degli operatori differenziali vista come universal enveloping algebra dell'algebra di Heisenberg. Le
coordinate di Plücker della grassmanniana. L'anello delle funzioni simmetriche, approssimazione della
corrispondenza di Bose-Fermi come isomorfismo tra anelli di polinomi e potenze esterne. Algebre di vertice
come versione assiomatica della Quantum Field Theory (alla Wightman), la superalgebra di vertice dei fermioni
liberi e operatori di Vertice che la generano. Relazione con la gerarchia di infinite equazioni differenziali alle
derivate parziali di Kadomtsev-Petviasvilii (KP hierarchy) nella forma bilineare di Hirota. Connessioni con i
solitoni e, tempo permettendo, simulazioni numeriche con Matlab. Il corso si ritaglierà comunque un itinerario su
misura tenendo conto della formazione e degli interessi dell'eventuale utenza.
in inglese
Modules over a commutative ring with unit as a generalization of vector spaces. Associative algebras, tensor
algebras, exterior algebras, theory of determinants. The example of the Weil algebra of differential operators as
universal enveloping algebra of the Heisenberg oscillator algebra. Plücker coordinates of a Grassmannian. The
ring of symmetric fucntions, approximation of the boson-fermion correspondence seen as module isomorphism
between exterior powers and polynomial rings. Vertex algebras seen as axiomatization of the QFT à la
Wightman, the vertex superalgebra of free fermions and vertex operators generating it. Relationship with KP
hierarchy, a completely integrable system, in the Hirota bilinear form. Connections with solitons and, time
permitting, numerical simulation with Matlab. The course will be shaped according to the background and the
specific interests of the possible audience
Modalità di esame:
Exam:
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Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.
Exam:
In addition to the message sent by the online system, students with disabilities or Specific Learning Disorders (SLD) are invited to directly inform the professor in charge of the course about the special arrangements for the exam that have been agreed with the Special Needs Unit. The professor has to be informed at least one week before the beginning of the examination session in order to provide students with the most suitable arrangements for each specific type of exam.