L’insegnamento ha come scopo principale quello di fornire agli studenti le conoscenze fondamentali per la deduzione e l’analisi qualitativa dei modelli matematici di interesse per le scienze dell'ingegneria e per le scienze applicate. Si intende trattare il percorso di studio completo: metodi di modellizzazione, classificazione, analisi qualitativa, validazione dei modelli.

Acquisire capacità relative ai metodi di modellizzazione alla diverse scale (micro-macro) e alla trattazione di problemi di analisi qualitativa dei modelli della Fisica Matematica e delle Scienze Applicate.

Conoscenza degli argomenti trattati nei corsi di base di Analisi matematica I ed Analisi Matematica II, Fisica I e Fisica II, Meccanica Razionale.

Parte prima (4 crediti) Sistemi di equazioni differenziali del primo ordine: sistemi del primo ordine in forma normale e equazioni di ordine n in forma normale. Sistemi lineari di equazioni differenziali ordinarie omogenei e non omogenei a coefficienti costanti. Adimensionalizzazione. Definizione del problema di Cauchy. Risultati di esistenza e di esistenza ed unicità. Soluzioni massimali. Analisi qualitativa. Integrali primi. Regolarità delle soluzioni. Lemma di Gronwall. Dipendenza continua dai dati iniziali. Sistemi autonomi, ritratto di fase e classificazione delle traiettorie. Stabilità e stabilità asintotica di un punto di equilibrio. Funzione di Liapunov e teorema di Liapunov. Bacino di attrazione. Metodo di linearizzazione. Punti iperbolici. Biforcazione dai punti di equilibrio. Biforcazione transcritica, supercritica, subcritica. Cenni sulla biforcazione di Hopf, Teorema di Hopf, ciclo limite. Modelli della meccanica classica e della dinamica di popolazioni. Parte seconda (4 crediti) Equazioni a derivate parziali: deduzione di alcuni esempi notevoli della fisica matematica. Leggi di bilancio. Equazioni del primo ordine. Equazioni del secondo ordine: classificazione e relativi problemi al contorno e di Cauchy. Equazioni iperboliche, ellittiche, paraboliche: derivazione euristica e derivazione microscopica. Studio di alcuni aspetti qualitativi.

L’insegnamento consiste in 5 crediti (50 ore) di lezione e 3 crediti (30) di esercitazione. Le esercitazioni hanno principalmente lo scopo di verificare il livello di apprendimento dei concetti esposti nelle ore di lezione, attraverso l’analisi di modelli e lo svolgimento di esercizi.

Bibliografia di riferimento: N.Bellomo, E. De Angelis, M. Delitala, Lecture Notes on Mathematical Modelling From Applied Sciences to Complex Systems, SIMAI e-Lecture Notes, Vol. 8, 2010, http://cab.unime.it/journals/index.php/lecture/article/view/576 S. Salsa, Equazioni a derivate parziali: metodi, modelli e applicazioni, Springer, seconda edizione L. C Evans. Partial differential equations, AMS 1998 M. Pulvirenti, Appunti per il corso di Fisica Matematica, http://www1.mat.uniroma1.it/people/pulvirenti/didattica/onde_e_calore.pdf Ulteriori testi per approfondimenti verranno indicati durante lo svolgimento dell’insegnamento stesso. Ulteriore materiale didattico e di supporto verrà illustrato in aula e sarà messo a disposizione di tutti gli studenti iscritti all'insegnamento, tramite la pagina del portale della didattica dedicata.

Modalità di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale facoltativa;

Exam: Written test; Optional oral exam;

... L’esame è volto ad accertare la conoscenza degli argomenti elencati nel programma ufficiale del corso e la capacità autonoma di applicare la teoria ed i relativi metodi di analisi qualitativa ai problemi matematici trattati. Lo scopo è quello di verificare sia il livello di comprensione degli argomenti trattati sia nelle lezioni che nelle esercitazioni, sia la capacità di organizzare tematicamente una esposizione sugli argomenti stessi. La prova di esame consiste in uno scritto con quesiti sia di carattere teorico che sotto forma di esercizi. Ciascuna parte dell’esame corrisponde ad un punteggio in trentesimi indicato nel testo stesso del quesito/esercizio e la somma dei punteggi è pari a 30/30. La lode viene inoltre assegnata nel caso di un elaborato pari a 30/30 che in più presenta rigore espositivo e chiarezza notazionale. La durata della prova di esame è di due ore, durante la quale non è possibile consultare libri, appunti o altro materiale didattico e nessun dispositivo elettronico. I risultati dell’esame vengono pubblicati e resi noti agli studenti tramite il portale della didattica, contestualmente con la data ed il luogo in cui gli studenti possono visionare il compito d’esame e chiedere chiarimenti. E' possibile sostenere una prova orale integrativa (su richiesta dello studente) che può fa variare il voto della prova scritta sia in positivo che in negativo. La prova orale integrativa va sostenuta nell'appello in cui si è sostenuto lo scritto ed è possibile solo se il voto conseguito nella prova scritta è di almeno 18/30.

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.