Il corso è erogato in lingua italiana.
L’insegnamento ha lo scopo di illustrare, analizzare e applicare i metodi numerici di base per la risoluzione di modelli matematici descritti da equazioni differenziali ordinarie o alle derivate parziali. Ciò al fine di far acquisire agli studenti le competenze necessarie per risolvere in modo efficiente problemi di ingegneria, utilizzando software commerciali esistenti.
The course is taught in Italian.
The main teaching goal is to guide the students to acquire the expertise needed to efficiently perform the numerical simulations that, in the subsequent courses or in their Master thesis, they will have to deal with.
To this end, the description and analysis of the basic numerical methods for the efficient solution of mathematical models represented by ordinary or partial differential equations will be presented.
The necessary knowledge for setting out and solving engineering problems by using existing commercial software will also be provided.
Conoscenza dei metodi numerici di base per la risoluzione di problemi di ingegneria descritti da equazioni differenziali. Capacità di individuare un metodo numerico efficiente per risolvere un determinato problema, in particolare utilizzando il software Matlab, e di costruire e analizzare nuovi schemi di calcolo. Capacità di applicare le conoscenze acquisite per effettuare simulazioni numeriche di fenomeni fisico-ingegneristici che verranno studiati in corsi successivi e nella tesi di laurea.
Knowledge of the basic numerical methods for the solution of engineering problems described by differential equations. Skill to select efficient existing numerical methods for the solution of differential problems, in particular using the Matlab software, and, whenever this is required, capability to construct and analyze new numerical approaches.
L'insegnamento presuppone che gli studenti abbiano acquisito le nozioni di base di algebra lineare, di analisi matematica I e II, di calcolo numerico e di programmazione in ambiente Matlab.
Basic notions of linear algebra, calculus, numerical methods and Matlab programming.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE: PROBLEMI A VALORI INIZIALI (19 ore)
Lezioni ed esercitazioni in aula (13 ore):
- Introduzione: esempi e alcuni richiami teorici.
- Metodi numerici: one-step (Eulero, trapezi e Runge-Kutta) e multistep (metodi del punto medio e di Adams),
espliciti e impliciti. Definizioni e proprietà.
- Sistemi stiff. Metodi BDF.
Laboratorio informatico (6 ore):
- Risoluzione di problemi a valori iniziali utilizzando il software Matlab.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI ORDINARIE: PROBLEMI CON VALORI AI LIMITI (9 ore)
Lezioni ed esercitazioni in aula (6 ore):
- Introduzione: esempi e alcuni richiami teorici.
- Formule alle differenze finite per la discretizzazione delle derivate. Definizione del metodo delle differenze
finite e sua applicazione a equazioni lineari del secondo ordine, con condizioni ai limiti lineari di vario
tipo. Risoluzione di sistemi lineari del primo ordine utilizzando come formule di discretizzazione i metodi di
Eulero implicito e dei trapezi.
- Cenni sui metodi shooting per la risoluzione di problemi non lineari.
Laboratorio informatico (3 ore):
- Costruzione di programmi di calcolo alle differenze finite, per la risoluzione di problemi con valori ai limiti,
utilizzando il software Matlab.
EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI (32 ore)
- Introduzioni e nozioni preliminari (2 ore)
Alcuni esempi classici di problemi descritti da equazioni alle derivate parziali.
Classificazione delle equazioni differenziali. Condizioni al bordo. Condizioni iniziali per i problemi non
stazionari. Formulazioni forti e deboli.
- Metodo delle differenze finite (19.5 ore)
Lezioni ed esercitazioni in aula (15 ore):
- Costruzione di schemi di calcolo alle differenze finite per la risoluzione numerica di problemi lineari
iperbolici, parabolici ed ellittici in due variabili. In particolare: equazione del trasporto, delle onde, di
diffusione, di diffusione-trasporto-reazione, di Poisson, di Helmholtz e loro varianti, con condizioni al bordo
di Dirichlet, di Neumann, di Robin, di tipo misto, di periodicità. Problemi agli autovalori.
Laboratorio informatico (4.5 ore):
- Risoluzione di problemi fisico-ingegneristici utilizzando il software Matlab.
- Metodo degli elementi finiti (10.5 ore)
Lezioni ed esercitazioni in aula (9 ore):
Definizione e applicazione del metodo degli elementi finiti a problemi stazionari e non stazionari in una sola
variabile spaziale. Formulazione debole del problema differenziale, rispetto alla sola variabile spaziale.
Applicazione del metodo ai problemi precedentemente risolti con il metodo delle differenze finite.
Laboratorio informatico (1.5 ore):
- Risoluzione di problemi fisico-ingegneristici utilizzando il software Matlab.
ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS: INITIAL VALUE PROBLEMS (19 hours)
Lectures and exercise sessions (13 hours):
- Introduction: some examples and theoretical background.
- Numerical methods: one-step (Euler, trapezoidal and Runge-Kutta) and multistep (mid-point and Adams)
methods.
- Stiff systems. BDF methods.
Computer Lab sessions (6 hours):
- Numerical solution of initial value problems using the Matlab software.
ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS: BOUNDARY VALUE PROBLEMS (9 hours)
Lectures and exercise sessions (6 hours) :
- Introduction. Some examples and theoretical background.
- Finite difference derivative discretizations. Definition of the finite difference method and its application to
second order differential equations, with different type of boundary conditions. Numerical solution of linear
systems of first order differential equations by using implicit Euler and trapezoidal methods. - Some basic on
the shooting method for the numerical solution of nonlinear problems.
Computer Lab sessions (3 hours):
- Construction of finite difference programs, to solve boundary value problems using the Matlab software.
PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS (PDE) (32 hours)
- Introduction and some preliminary notions (Lectures, 2 hours)
Some classical examples of PDE problems. PDE classification. Boundary conditions, initial conditions for
time-dependent problems. Strong and weak formulations.
- The Finite difference method (19.5 hours)
Lectures and exercise sessions (15 hours):
- Construction of finite difference scheme for the numerical solution of linear hyperbolic, parabolic and
elliptic problems in two dimensions. The examples of equations that will be considered are those of
transport, wave propagation, diffusion, diffusion-transport-reaction, Poisson and Helmholtz.
Boundary conditions of all type will be associated to the above equations: Dirischlet, Neumann, Robin,
mixed type and of periodicity. The method will also be applied to eigenvalue problems.
Computer Lab sessions (4.5) hours:
- Numerical solution of engineering problems using the Matlab software.
- The Finite element method (10.5 hours)
Lectures and exercise sessions (9 hours):
- Definition and application of the finite element method to stationary and to time-dependent linear problems
in one space variable. Weak formulation with respect to the space variable. Application of the method to
the previous problems, solved already by using the finite difference approach.
Computer Lab sessions (1.5 hours):
- Numerical solution of engineering problems using the Matlab software (1.5 hours)
Nel precedente programma sono incluse esercitazioni in aula, per complessive 15 ore, durante le quali vengono sottolineati con esempi aspetti particolarmente importanti degli argomenti trattati nelle lezioni, e svolti esercizi che contribuiscono ad una miglior comprensione dei metodi numerici presentati e del loro utilizzo.
Sono altresì incluse ulteriori 15 ore di esercitazioni in laboratorio informatico, per la verifica delle proprietà dei metodi presentati e per la risoluzione, in ambiente Matlab, di alcuni problemi di ingegneria.
The above course programme also include exercise sessions, for a total of 15 hours. Important aspects of the lecture topics as well as the solution of some problems are discussed, to help the students to better understand the lectures.
An additional computer lab activity (15 hours) is also scheduled, for the numerical testing of properties of the methods presented in the lectures and, most important, for the solution of some engineering problems using the Matlab software.
G. Monegato, Metodi e algoritmi per il Calcolo Numerico, CLUT, Torino, 2008.
Materiale didattico relativo alle esercitazioni in laboratorio, messo a disposizione degli studenti sul Portale della Didattica.
G. Monegato, Metodi e algoritmi per il Calcolo Numerico, CLUT, Torino, 2008.
Notes on the problems assigned and solved during the computer lab sessions can be downloaded by the students from the Portale della Didattica.
Modalità di esame: Test informatizzato in laboratorio; Prova scritta (in aula);
Exam: Computer lab-based test; Written test;
...
Al termine delle esercitazioni in laboratorio, gli studenti sono chiamati a dimostrare di saper risolvere, utilizzando il software Matlab, un problema differenziale che viene loro assegnato. A questa prova, della durata di un’ora e 20 minuti, sono attribuiti massimo 2 punti. Il punteggio acquisito viene mantenuto valido per le tre sessioni d’esame previste per l’anno accademico in corso. Durante la prova è posssibile consultare solo gli appunti cartacei delle esercitazioni.
Successivamente, negli appelli in calendario, gli studenti devono sostenere una prova scritta in aula, della durata di 2 ore, riguardante l'intero programma. Tale prova è composta da una domanda e due esercizi. La prima domanda, cui vengono assegnati massimo 6 punti, riguarda definizioni, proprietà e applicazione dei metodi numerici per i problemi a valori iniziali rappresentati da equazioni differenziali ordinarie.
In ciascuno dei due successivi esercizi, cui vengono attribuiti massimo 11 punti, allo studente viene chiesto di costruire uno schema di calcolo efficiente (alle differenze finite nel primo, e agli elementi finiti nel secondo) per risolvere un problema differenziale. Lo studente, deve dimostrare di conoscere i passi principali richiesti per ottenere la soluzione del problema, sottolineando quali sono le approssimazioni che vengono effettuate.
Durante la prova scritta non è consentito consultare testi o appunti e utilizzare strumenti elettronici.
Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.
Exam: Computer lab-based test; Written test;
At the end of the computer Lab activities, students are asked to show that they have acquired the ability to solve, using the Matlab software, a given PDE problem. This test lasts 1h 20m and it is worth up to 2 points. The grade one obtains will remain valid for the three exam sessions of the current academic year. During the test, students are only allowed to consult their Lab session notes.
Then, in the regular exam sessions, students must take a written test which lasts for two hours, concerning the entire course programme. This test consists of one question and two exercises. The first question, worth up to 6 points, is devoted to definitions, properties and application of numerical methods for ordinary differential equations with initial values. In each of the following two exercises (worth up to 11 points each), students are asked to construct an efficient numerical scheme (using finite differences in the first, and finite elements in the second) for the solution of a given problem. In particular, students are asked to perform all the main steps needed to obtain the approximated solution. They have to show that they have understood how the method they have applied works and what kind of discretizations have been made.
During this latter examination, it is forbidden to consult notes or books and to use electronic devices.
In addition to the message sent by the online system, students with disabilities or Specific Learning Disorders (SLD) are invited to directly inform the professor in charge of the course about the special arrangements for the exam that have been agreed with the Special Needs Unit. The professor has to be informed at least one week before the beginning of the examination session in order to provide students with the most suitable arrangements for each specific type of exam.