Il corso completa la formazione di base dello studente con riferimento ai contenuti dei corsi di Analisi Matematica e Geometria. L'obiettivo del corso è di introdurre e sviluppare i concetti fondamentali della Geometria Differenziale di curve e superfici, con particolare attenzione agli aspetti computazionali. Il corso sarà diviso in tre parti. La prima parte sarà dedicata allo studio di curve e superfici, con un riguardo particolare al concetto di curvatura. Nella seconda parte verrà spiegato come usare il software Mathematica per risolvere problemi inerenti al calcolo delle curvature delle curve e superfici. L'ultima parte del corso sarà dedicata ad approfondimenti/generalizzazioni dei concetti introdotti nelle parti precedenti. Sarà introdotto il concetto di varietà differenziabile (o liscia). Sotto un certo aspetto una tale varietà generalizza il concetto di spazio vettoriale: infatti una varietà differenziabile M è "localmente" interpretabile come R^n, una volta fissata una parametrizzazione (locale) di M, nello stesso modo in cui uno spazio vettoriale n-dimensionale V può essere riguardato come R^n una volta fissata una base di V. Ciò permetterà l'applicazione di metodi analitici nello studio delle proprietà topologiche delle varietà.

- Capacità di formalizzare e risolvere problemi geometrici provenienti dallo studio di curve e superfici. - Applicazione delle conoscenze acquisite mediante l'uso del software Mathematica.

Conoscenza degli argomenti trattati nei corsi di Analisi Matematica I, Algebra Lineare e Geometria, Analisi Matematica II e Istituzioni di Algebra e Geometria.

PRIMA PARTE - Curve e Superfici (Prof. Manno): --Curve in spazi Euclidei. Curve parametrizzate, regolari e bi-regolari: retta tangente e punti di flesso. Parametrizzazione mediante l'ascissa curvilinea. Lunghezza di un arco di curva e curve rettificabili. Triedro di Frenet, curvatura e torsione. Teorema di esistenza e unicità delle curve bi-regolari con velocità, curvatura e torsione assegnate. --Superfici in spazi Euclidei. Superfici parametrizzate, superfici regolari e loro spazio tangente. Prima e seconda forma fondamentale di una superficie. Mappa di Gaussi. Operatore di forma. Curvature principali. Curvatura media. Curvatura di Gauss. SECONDA PARTE - Uso del software Mathematica (Prof. Musso): Introduzione al software Mathematica. Risoluzione numerica del problema della parametrizzazione mediante l'ascissa curvilinea. Descrizione numerica delle curve con curvatura e torsione assegnata. Risoluzione con l'uso di Mathematica di alcuni esercizi discussi nella prima parte. TERZA PARTE - Approfondimenti (Prof. Manno): Introduzione alle varietà differenziabili come spazi localmente Euclidei. Differenze e analogie con gli spazi vettoriali. Varietà differenziabile come analogo "curvo" di uno spazio vettoriale. Definizione di varietà differenziabile (varietà liscia) tramite parametrizzazioni locali. Funzioni di transizione e atlante differenziabile. Spazio tangente, campi vettoriali e loro curve integrali. Sottovarietà di una varietà differenziabile. Curve e superfici come sottovarietà.

L’insegnamento consta di lezioni ed esercitazioni in aula e sarà suddiviso in tre parti. La prima parte del corso (circa 20 ore) sarà tenuta dal prof. Manno, che introdurrà i concetti base riguardanti le curve e superfici di spazi euclidei. La seconda parte del corso (circa 20 ore) sarà tenuta dal prof. Musso, che mostrerà come usare il software Mathematica per risolvere problemi riguardanti curve e superfici. La terza parte del corso (circa 20 ore) sarà tenuta dal prof. Manno. Riguarderà approfondimenti e generalizzazioni dei concetti/teoremi trattati nelle parti precedenti.

- Martin Lipschultz, Differential Geometry, Schaum's outlines - E. Abbena, A. Gray, S. Salamon, Modern Geometry of Curves and Surfaces, Chapman & Hall/CRC - F. Fava, Elementi di Geometria Differenziale, Levrotto e Bella

Modalità di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale facoltativa;

Exam: Written test; Optional oral exam;

... Modalità di esame: prova scritta; prova orale facoltativa. La valutazione è basata su una prova scritta della durata di due ore divisa in due parti, ognuna della durata di un'ora. La prima parte della prova scritta riguarderà la risoluzione di problemi tramite l'uso del software Mathematica. La seconda parte della prova scritta sarà di carattere più teorico e riguarderà principalmente gli argomenti trattati nella prima e nella terza parte del corso. Maggiori dettagli sulla prova scritta saranno comunicati durante il corso. La prima parte della prova scritta è valutata fino ad un massimo di 12 punti e la seconda fino ad un massimo di 21 punti. Il voto finale è dato dalla somma dei punteggi parziali. La soglia minima per superare l'esame è di 4 punti nella prima parte della prova scritta e di 7 punti nella seconda parte della prova scritta. L’esame è superato con una votazione complessiva maggiore o uguale a 18. Un punteggio maggiore o uguale a 31 comporta l’attribuzione della lode.

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.