L'obiettivo dell’insegnamento è fornire un insieme di conoscenze metodologiche nell’ambito del calcolo numerico e di addestrare gli studenti all’uso del software di libreria Matlab, affinché siano in grado di risolvere numericamente, con l'ausilio del calcolatore, alcuni problemi che comunemente si presentano nelle applicazioni dell’Ingegneria. In particolare, tali conoscenze rendono gli studenti capaci di individuare il metodo più efficiente, in termini di complessità computazionale e di occupazione di memoria, tra quelli a loro disposizione per la risoluzione di un problema, e di fare un’analisi critica della soluzione ottenuta. Questa capacità è particolarmente importante per gli ingegneri che si accingono a utilizzare codici commerciali che, a causa di una scelta non adeguata dell’algoritmo, possono fornire risultati non attendibili o comunque poco accurati.

Gli studenti, che avranno seguito con profitto questo insegnamento, saranno in grado di risolvere numericamente i seguenti problemi: risoluzione di sistemi lineari algebrici sparsi e di grandi dimensioni, approssimazione polinomiale algebrica, integrazione numerica, risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali. In particolare, per la risoluzione di questi problemi gli studenti utilizzeranno i metodi numerici di base appresi, implementati nativamente o personalmente in ambiente Matlab e, in base alla conoscenza delle proprietà dei metodi, saranno in grado di fornire un’analisi critica dei risultati ottenuti. Gli studenti acquisiranno inoltre le competenze necessarie per identificare e adottare il metodo più efficiente tra quelli a loro disposizione, al fine di ottenere la soluzione del problema più accurata possibile al minimo costo computazionale.

Si richiede una buona conoscenza degli argomenti trattati negli insegnamenti di Algebra Lineare e Geometria e di Analisi Matematica I e II, e la conoscenza dei principali costrutti sintattici di programmazione e del software Matlab.

- Richiami sui concetti base dell’aritmetica del calcolatore. Condizionamento di un problema numerico. Stabilità di un algoritmo. - Sistemi lineari: brevi richiami sui metodi diretti e sulle fattorizzazioni di matrici. Metodi iterativi in generale: costruzione e risultati di convergenza. I metodi di Jacobi, di Gauss-Seidel, del gradiente e del gradiente coniugato. - Approfondimenti sull’approssimazione di funzioni: interpolazione polinomiale di funzioni di una sola variabile reale. Rappresentazione di Lagrange, scelta dei nodi e studio della convergenza. Interpolazione con funzioni polinomiali a tratti (spline): definizione e studio della convergenza, basi a supporto compatto. - Equazioni non lineari: metodo delle secanti, delle tangenti, metodo del punto fisso; costruzione e risultati di convergenza. Sistemi di equazioni non lineari: metodo di Newton e sue varianti, metodo del punto fisso. - Calcolo di integrali definiti su intervalli: formule di quadratura di tipo interpolatorio, formule di Newton-Cotes, formule Gaussiane, formule composte; costruzione e risultati di convergenza. - Equazioni differenziali ordinarie con condizioni iniziali: condizionamento del problema, metodi one-step e multistep; costruzione e studio della convergenza. Problemi stiff e metodi numerici per la loro risoluzione. - Equazioni differenziali ordinarie con condizioni al contorno: metodi alle differenze finite e metodo di Galerkin in forma forte e in forma debole. - Equazioni alle derivate parziali: metodi alle differenze finite per equazioni di tipo iperbolico (primo e secondo ordine) e parabolico. Costruzione e risultati di consistenza, stabilità e convergenza per problemi a valori iniziali. Metodi alle differenze finite per problemi ellittici. Metodi agli elementi finiti per problemi ellittici con condizioni al contorno di Dirichlet, di Neumann, di Robin e miste. Metodi agli elementi finiti per problemi di trasporto (con termini di diffusione, convezione, reazione) in 1D e in 2D. Metodi agli elementi finiti per problemi iperbolici in 1D e in 2D.

L’insegnamento consta di 60 ore di lezioni ed esercitazioni in aula e 20 ore di esercitazioni in laboratorio informatico. Durante le lezioni in aula verranno svolti esercizi che contribuiranno a una migliore comprensione della teoria e costruiti algoritmi di calcolo. Questi ultimi verranno implementati in ambiente Matlab durante le esercitazioni in laboratorio e applicati a problemi numerici test. Tale attività consentirà la verifica sperimentale delle proprietà dei metodi numerici esaminati e il contemporaneo addestramento degli studenti all’utilizzo del software Matlab nell’ambito della simulazione numerica. Alcune esercitazioni saranno di carattere interdisciplinare e concordate con altri docenti del corso di Laurea.

Giovanni Monegato, Metodi e Algoritmi per il Calcolo Numerico, CLUT, 2008. Letizia Scuderi, Laboratorio di Calcolo Numerico, CLUT, 2005. Alfio Quarteroni, Modellistica numerica per problemi differenziali, Springer. Ulteriore materiale (problemi di carattere applicativo, esercizi e tracce di svolgimento) sarà disponibile sul portale della didattica.

Modalità di esame: Test informatizzato in laboratorio; Prova scritta (in aula);

Exam: Computer lab-based test; Written test;

... L'esame è composto da due prove: un test informatizzato e una prova scritta. Il test è costituito da 6-8 domande a risposta multipla, in cui si richiede l’uso del software Matlab per risolvere problemi numerici della tipologia di quelli affrontati a lezione e/o a esercitazione. La prova in laboratorio permette di conseguire un punteggio massimo di 10 punti. La prova scritta è composta da 2-3 esercizi, con domande di carattere sia pratico che teorico, riguardanti tutto il programma. La prova scritta permette di conseguire un punteggio massimo di 22 punti. La durata indicativa di ciascuna prova è di circa un’ora e mezza. Entrambe le prove sono da svolgersi senza l’uso di appunti o libri. L’esame si intende superato se lo studente raggiunge una votazione complessiva maggiore o uguale a 18. In caso di mancato superamento, lo studente deve sostenere nuovamente l’esame con entrambe le prove.

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.