L’insegnamento è erogato in lingua italiana e ha lo scopo di illustrare e analizzare i metodi numerici di base e le loro caratteristiche (condizioni di applicabilità, efficienza sia in termini di complessità computazionale sia di occupazione di memoria) e di far acquisire agli studenti le competenze necessarie per risolvere problemi di calcolo numerico utilizzando o costruendo, in particolare, programmi in ambiente Matlab.

Conoscenza dei metodi numerici di base e delle loro proprietà, capacità di costruire e analizzare nuovi metodi numerici e di risolvere problemi scientifici anche con l’uso del software Matlab.

Gli argomenti trattati negli insegnamenti di Algebra Lineare e Geometria, di Analisi Matematica I e II e la conoscenza dei principali costrutti di programmazione del software Matlab.

Lezioni in aula (50 ore): 1. Sistemi lineari (9.5 ore): Brevi richiami sui metodi diretti. Metodi iterativi (costruzione e risultati di convergenza): Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, gradiente e gradiente coniugato. Precondizionamento. 2. Approfondimenti sull’approssimazione di funzioni (7.5 ore): Interpolazione polinomiale di funzioni di una sola variabile reale. Rappresentazione di Lagrange, scelta ottimale e quasi ottimale dei nodi e studio della convergenza. Rappresentazione di Newton alle differenze divise. Interpolazione con funzioni polinomiali a tratti: definizione e studio della convergenza. Cenni sull’interpolazione di funzioni di due variabili reali. Derivazione numerica. 3. Equazioni non lineari (6 ore): Radici di equazioni non lineari: metodi delle secanti e delle tangenti, metodo del punto fisso; costruzione e risultati di convergenza. Sistemi di equazioni non lineari: metodo di Newton e sue varianti, metodo del punto fisso. Applicazioni a problemi di ottimizzazione senza vincoli e con vincoli. 4. Calcolo di integrali definiti su intervalli e applicazioni (10 ore): Formule di quadratura di tipo interpolatorio in generale, formule di Newton-Cotes, polinomi ortogonali e formule Gaussiane. Analisi della convergenza. Formule composte: definizione e proprietà di convergenza. Cenni sul calcolo degli integrali curvilinei e multipli. Alcune applicazioni. 5. Equazioni differenziali ordinarie - Problemi a valori iniziali (14 ore): Riduzione del generico problema alla forma canonica. Alcuni risultati teorici di esistenza e unicità delle soluzioni. Metodi one-step espliciti e impliciti in generale: definizione, consistenza e convergenza. Metodi Runge-Kutta. Metodi multistep lineari espliciti e impliciti: definizione, consistenza e convergenza. Metodi di Adams. Stabilità assoluta dei metodi numerici. Sistemi stiff e metodi numerici per la loro risoluzione. Metodo shooting per problemi con valori ai limiti.

Le lezioni in aula sopra descritte sono accompagnate da esercitazioni in aula (15 ore) durante le quali vengono sottolineati, con esempi, aspetti particolarmente importanti degli argomenti trattati nelle lezioni, svolti esercizi che contribuiscono ad una miglior comprensione della teoria e costruiti algoritmi di calcolo. Sono inoltre previste ulteriori 15 ore di esercitazioni nel laboratorio informatico, per la verifica sperimentale delle proprietà dei metodi numerici esaminati, per l’implementazione degli algoritmi numerici costruiti nelle esercitazioni in aula, e per il contemporaneo addestramento degli studenti all’utilizzo del software Matlab nell’ambito della simulazione numerica.

G. Monegato, Metodi e algoritmi per il Calcolo Numerico, CLUT, Torino, 2008. L. Scuderi, Laboratorio di calcolo numerico, CLUT, Torino, 2005.

Modalità di esame: Prova scritta tramite PC con l'utilizzo della piattaforma di ateneo; Prova scritta tramite l'utilizzo di vLAIB e piattaforma di ateneo;

L'esame è composto da due prove: un test informatizzato della durata di 45 minuti e una prova scritta della durata di 1 ora e 45 minuti. Il test è costituito da 3-5 domande a risposta multipla, in cui si richiede l’uso del software Matlab per risolvere problemi numerici della tipologia di quelli affrontati a lezione e/o a esercitazione. I punteggi massimi attribuiti alle singole domande vengono riportati nel testo della prova. Al test viene complessivamente assegnato un massimo di 6 punti. Il punteggio conseguito dallo studente per ciascun esercizio tiene conto della risposta data e del relativo programma di calcolo. La prova scritta viene svolta successivamente al test ed è composta da cinque domande di tipo aperto, a ciascuna delle quali viene attribuito un punteggio massimo riportato nel testo d’esame, per un totale di 24 punti. Le domande includono definizioni, costruzione, proprietà e applicazione dei singoli metodi numerici, nonché dimostrazioni di risultati teorici. Durante le prove non è consentito utilizzare appunti, testi e strumenti elettronici, ad eccezione del PC in uso per il collegamento alle piattaforme di ateneo. L’esame si intende superato se lo studente ottiene una votazione complessiva non inferiore a 18/30. In caso di mancato superamento, lo studente deve sostenere nuovamente l’esame con entrambe le prove. I risultati degli esami vengono comunicati ai singoli studenti con il portale della didattica, insieme a data e orario della Virtual classroom prevista per le richieste di chiarimenti.

Modalità di esame: Prova scritta (in aula); Prova scritta tramite PC con l'utilizzo della piattaforma di ateneo; Prova scritta tramite l'utilizzo di vLAIB e piattaforma di ateneo;

Ciascuna delle due prove d’esame, test informatizzato e prova scritta, descritte nella sezione precedente, viene svolta simultaneamente in presenza e da remoto. In particolare, nella modalità in presenza, il test Matlab viene svolto in un laboratorio LAIB dell'ateneo usando la piattaforma di ateneo Exam, mentre la prova scritta viene svolta in aula. Nella modalità in remoto, il test Matlab viene svolto utilizzando il laboratorio virtuale vLAIB e la piattaforma Exam integrata con strumenti di proctoring (Respondus), mentre la prova scritta viene svolta utilizzando soltanto Exam integrata con strumenti di proctoring (Respondus).