L’insegnamento vuole fornire un’introduzione generale al metodo degli elementi finiti, alle metodologie di ottimizzazione e, in particolare, alle metodologie di ottimizzazione topologica e alla loro applicazione per la progettazione di componenti o sistemi da realizzare mediante fabbricazione additiva.

L’insegnamento intende fornire all’allievo una buona conoscenza teorica del metodo degli elementi finiti (campo statico lineare), delle metodologie di ottimizzazione e della loro implementazione nei codici di calcolo. Lo studente sarà in grado di utilizzare uno o più programmi di ottimizzazione, in particolare topologica, per la soluzione di problemi di bassa/media complessità in campo strutturale allo scopo di individuare la geometria ottimale di componenti/sistemi da realizzare mediante l’impiego di tecnologie di fabbricazione additiva.

L’allievo che segue l'insegnamento deve possedere le conoscenze base di analisi matematica e calcolo numerico nonché i fondamenti di comportamento strutturale e costruzione di macchine.

Lezioni teoriche (29 h) Analisi matriciale: - Concetti di base: nodi, vettore delle forze, vettore degli spostamenti, matrice di rigidezza. - Valutazione della matrice di rigidezza per un elemento monodimensionale (vettori delle forze equivalenti alla presenza di carichi di tipo distribuito). - Rotazione del sistema di riferimento e della matrice di rigidezza. - Imposizione delle condizioni al contorno e soluzione del problema di equilibrio. Metodo degli elementi finite in campo statico lineare: - Formulazione generale: principio dei lavori virtuali e minimo dell’energia potenziale totale (metodo di Ritz) per problemi strutturali, metodo dei residui pesati (metodo di Galerkin), forze nodali equivalenti alla presenza di carichi di tipo distribuito. - Elementi finite monodimensionali: elemento asta e elemento trave inflessa. - Elementi finiti bidimensionali: elementi membranali a tre e Quattro nodi, elementi flessionali a quattro nodi. - Elementi finiti tridimensionali: elementi a quattro nodi (tetraedrici), a otto nodi (esaedrici), a sei nodi (cunei). - Elementi finiti isoparametrici: formulazione e integrazione mediante metodo di Gauss. - (Stima dell’errore: valutazione della qualità della soluzione approssimata e strategie per il miglioramento.) - (Metodi di discretizzazione: discretizzazione mediante algoritmi automatici, adattività, analisi della convergenza della soluzione). - Matrici di massa: formulazione congruente e a parametri concentrati. Metodo degli elementi finiti in campo termico: - Descrizione generale del problema termico (condizioni al contorno). - Elementi finite utilizzati in campo termico. Introduzione ai problemi di ottimizzazione: - ottimizzazione parametrica, di forma e topologica - problemi di ottimizzazione continua, discreta e mista - regione ammissibile, soluzioni ammissibili e soluzione ottima - criteri di ottimalità Ottimizzazione non vincolata: - minimizzazione monodimensionale (linesearch) - Steepest Descent (S.D. o metodo del gradiente) - metodo del gradiente coniugato (C.G.) - metodo di Newton (per l’ottimizzazione) - metodo di Broyden per sistemi non lineari - metodi quasi-Newton (o metodi secanti) - minimi quadrati non lineari Ottimizzazione vincolata - vincoli di uguaglianza (Lagrange) - vincoli di disuguaglianza (Kuhn-Tucker) - Programmazione Quadratica Sequenziale (SQP) - metodi di penalizzazione - programmazione lineare: Metodo del Simplesso - metodo Interior Point (IP) Ottimizzazione topologica: - SIMP method - Level Set method - ESO-BESO method Esercitazioni / Laboratori (21 h) Le esercitazioni vengono svolte presso un laboratorio informatico e prevedono l’utilizzo di programmi commerciali di ottimizzazione di forma e topologica per la soluzione di problemi di progettazione ottimale con particolare attenzione alla possibile produzione mediante tecnologie di fabbricazione additiva. Le esercitazioni verranno effettuate in piccoli gruppi sotto la guida del docente con la stesura di una relazione da presentare in sede di esame. Sono inoltre previste: • una o più testimonianze aziendali sui vari argomenti trattati nell’insegnamento; • visite presso aziende operanti nel settore della fabbricazione additiva (se possibile).

Il corso è suddiviso in: - lezioni teoriche (26 h) - esercitazioni in aula (3 h) - esercitazioni presso il laboratorio informatico (21 h) Le lezioni e le esercitazioni in aula saranno proposte da remoto o in formato misto remoto/presenziale in funzione della situazione contingente. Le esercitazioni presso il laboratorio informatico potranno essere seguite in remoto o in forma mista remoto/presenziale. Grazie agli accordi con la casa produttrice, gli studenti avranno la possibilità di installare sul poprio PC il programma utilizzato consentendone l'impiego anche al di fuori del Politecnico.

Gli studenti potranno usufruire di dispense e slide utilizzate a lezione che saranno messe a disposizione sul Portale della Didattica. I testi di riferimento per la parte relativa al metodo degli elementi finiti sono i seguenti: - G. Belingardi Introduzione al metodo degli elementi finiti - Reddy, J.N. 'An introduction to the finite element method', McGraw-Hill, 2006 I testi di riferimento per la parte relativa alle metodologie di ottimizzazione sono i seguenti: - G.N. Vanderplaats 'Multidiscipline Design Optimization', 2007 - O. Sigmund, M. P. Bendsøe 'Topology Optimization: Theory, Methods, and Applications', 2004 Si consigliano i seguenti testi di approfondimento sul metodo degli elementi finiti: - Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Zhu J.Z. The finite element method: its basis and fundamentals, Elsevier Butterworth-Heinemann, 2005. - Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Zhu J.Z. The finite element method:for solid and structural mechanics, Elsevier Butterworth-Heinemann, 2005.

Modalità di esame: Prova orale obbligatoria; Elaborato scritto individuale;

La prova orale obbligatoria sarà volta ad accertare anche aspetti di teoria affrontati nel corso e verterà anche sulla discussione della relazione relativa alle esercitazioni svolte presso il laboratorio informatico al fine di verificare la comprensione del problema proposto e la sua corretta soluzione. Essa verrà svolta utilizzando lo strumento Virtual Classroom e prevede la risposta a 1/2 domande relative agli argomenti trattati nelle lezioni con un punteggio massimo assegnato di 30/30 e la discussione della relazione relativa alle esercitazioni svolte presso il laboratorio informatico con un punteggio massimo aggiuntivo di 2/30. Il voto finale sarà la somma del punteggio della prova orale e della discussione della relazione scritta. Il voto finale della parte A sarà mediato col voto finale della parte B.

Modalità di esame: Prova orale obbligatoria; Elaborato progettuale individuale;

La prova orale obbligatoria sarà volta ad accertare anche aspetti di teoria affrontati nell'insegnamento e verterà anche sulla discussione della relazione inerente alle esercitazioni svolte presso il laboratorio informatico, al fine di verificare la comprensione del problema proposto e la sua corretta soluzione. Essa verrà svolta in presenza e/o utilizzando lo strumento Virtual Classroom e prevede la risposta a 1/2 domande relative agli argomenti trattati nelle lezioni con un punteggio massimo assegnato di 30/30 e la discussione della relazione relativa alle esercitazioni svolte presso il laboratorio informatico con un punteggio massimo aggiuntivo di 2/30. Il voto finale sarà la somma del punteggio della prova orale e della discussione della relazione scritta. Il voto finale della parte A sarà mediato col voto finale della parte B.