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Analisi funzionale/Equazioni alle derivate parziali
01RMGMQ
A.A. 2020/21
Lingua dell'insegnamento
Italiano
Corsi di studio
Organizzazione dell'insegnamento
| Didattica | Ore |
|---|---|
| Lezioni | 40 |
| Esercitazioni in aula | 20 |
Docenti
| Docente | Qualifica | Settore | h.Lez | h.Es | h.Lab | h.Tut | Anni incarico |
|---|
Collaboratori
Didattica
| SSD | CFU | Attivita' formative | Ambiti disciplinari |
|---|
2020/21
L'Analisi funzionale può essere considerata come l'estensione dell'algebra lineare agli spazi vettoriali di dimensione infinita. Tutte le equazioni integrali o differenziali che si presentano sia negli aspetti puri della matematica che in quelli motivati dalle applicazioni possono essere inquadrate come trasformazioni (lineari o non lineari) fra spazi di funzioni, e quindi fra spazi vettoriali di dimensione infinita. Il primo modulo dell’insegnamento di Analisi funzionale/Equazioni alle derivate parziali ha lo scopo di affrontare sistematicamente sia lo studio degli spazi di funzioni sia lo studio delle trasformazioni lineari fra di essi. Il secondo modulo dell’insegnamento fornisce un'introduzione agli Spazi di Sobolev, sui cui si fonda la teoria moderna delle Equazioni alle Derivate Parziali, e mostra come i risultati astratti dell'Analisi Funzionale possano essere applicati per trattare Equazioni alle Derivate Parziali.
Functional Analysis can be considered as the extension of linear algebra to infinite dimensional vector spaces. Many integral and differential equations which arise in pure and applied mathematics can be reduced to the study of either linear or nonlinear applications among function spaces, which are infinite dimensional vector spaces. The first part of the course aims to study function spaces and linear applications on such spaces. The second part introduces to the study of Sobolev Spaces, on which the modern theory of Partial Differential Equations relies, and shows how abstract results from Functional Analysis can be applied to treat Partial Differential Equations.
Lo studente acquisirà le basi teoriche su spazi di Banach, spazi di Hilbert, spazi di Sobolev e operatori lineari limitati su tali spazi. Tali nozioni forniranno allo studente gli strumenti matematici essenziali per poter comprendere e affrontare problemi matematicamente complessi nel modo corretto. Lo studente sarà capace di applicare le conoscenze acquisite, in particolare nella trattazione di problemi variazionali di equazioni alle derivate parziali.
The student will learn the basic concepts of the theory of Banach spaces, Hilbert spaces, Sobolev spaces and bounded linear operators on such spaces. These notions will give the student the mathematical tools to understand and study properly complex mathematical problems. The student will learn to apply the acquired competences in the study of variational problems of Partial Differential Equations.
Analisi Matematica I e II, Algebra lineare e geometria, Analisi complessa, Topologia.
Mathematical Analysis I and II, Linear algebra and geometry, Complex Analysis, Topology.
MODULO I: Analisi Funzionale
Spazio delle funzioni continue su un intervallo: completezza dello spazio C[a,b] rispetto alla norma del massimo, teorema di approssimazione di Weierstrass.
Spazi di Banach: definizione, proprieta’ ed esempi. Spazi l^p e spazi L^p. Lemma di Riesz. Compattezza della palla unitaria in spazi normati.
Spazi di Hilbert: definizioni e proprieta’, Spazi L^2 e l^2. Insiemi ortogonali e basi ortonormali. Proiezioni ortogonali.
Operatori lineari limitati tra spazi normati.
Spazio duale e spazio biduale di uno spazio normato. Caratterizzazione del duale degli spazi l^p e L^p. Teorema di Riesz-Frechet. Convergenze debole e debole *.
Operatore aggiunto di un operatore limitato tra spazi di Hilbert. Operatori unitari, normali e autoaggiunti.
Spettro di un operatore limitato definito su uno spazio di Hilbert: definizione e proprieta’.
Operatori compatti: definizione ed esempi. Spettro di un operatore compatto autoaggiunto su uno spazio di Hilbert.
MODULO II: Equazioni alle derivate parziali
Introduzione: notazioni, equazioni lineari e non lineari, soluzione in senso classico ed in senso debole. Problemi ben posti.
Convoluzione tra funzioni ed effetto regolarizzante.
Distribuzioni: richiami, derivate, convoluzione e soluzioni fondamentali di operatori lineari.
Spazi di Sobolev Hilbertiani: definizione, proprietà, teoremi di densità, di immersione continua e compatta (disuguaglianza di Poincaré, Teorema di Rellich, immersioni di Sobolev). Spazi duali e tracce (cenno).
Formulazione debole di problemi ellittici: esistenza, unicità, dipendenza continua dai dati. Significato delle soluzioni deboli e cenni sulla regolarità.
Teoria spettrale per operatori ellittici auto-aggiunti: formulazione astratta ed applicazioni.
Formulazione debole di problemi evolutivi: spazi di Sobolev dipendenti dal tempo (cenni) e approssimate di Galerkin.
PART I: Functional Analysis
Continuous functions over an interval: completeness of the space C[a,b], Weierstrass approximation theorem.
Banach spaces: definition, properties and examples. Spaces l^p and L^p. Riesz Lemma. Compactness of the unit ball in normed spaces.
Hilbert spaces: definition and properties, spaces L^2 e l^2. Orthogonal sets and orthonormal basis. Orthogonal projections.
Bounded linear operators on normed spaces.
Dual and bidual spaces of a normed space. Caracherization of the dual of the spaces l^p and L^p. Riesz-Frechet theorem. Weak and weak* convergence.
Adjoint operator of a bounded operator on Hilbert spaces. Unitary, normal and self-adjoint operators.
Spectrum of a bounded operator on Hilbert spaces: definition and properties.
Compact operators: definition and examples. Spectrum of a compact self-adjoint operator on Hilbert spaces.
PART II: Partial Differential Equations
Introduction: notations, linear and non linear equations, classical and weak solutions. Well-posed problems.
Convolution between functions and regularizing effect.
Distributions: derivatives, convolution and fundamental solutions of linear operators.
Sobolev Spaces: definition, properties, density theorems, continuous and compact embeddings (Poincaré Inequality, Rellich Theorem, Sobolev embeddings). Dual spaces and traces (hints).
Weak formulation of elliptic problems: existence, uniqueness, continuous dependence from data.
Spectral theory for self-adjoint elliptic operators: abstract formulation and applications.
Weak formulation of evolution problems: time dependent Sobolev Space (hints) and Galerkin approximations.
L’insegnamento ha durata annuale ed è organizzato in due moduli didattici. Il primo periodo didattico sarà dedicato al modulo di Analisi Funzionale. Il secondo periodo sarà dedicato al modulo di Equazioni alle derivate parziali.
L’insegnamento prevede lezioni teoriche affiancate da esercitazioni con cadenza settimanale. Ogni modulo sara’ composto da 40 ore di lezioni e 20 ore di esercitazioni.
This is a one-year course organized in two parts. The first semester
will be devoted to Functional Analysis. The second semester will be devoted to Partial Differential Equations.
Every part consists in 40 hours of theoretical lessons and 20 hours of exercises lessons.
Testi di riferimento:
H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer.
L. C. Evans. Partial Differential Equations, AMS.
B. Rynne and M.A. Youngson, Linear Functional Analysis, Springer.
Dispense ed esercizi saranno disponibili sul portale della didattica per gli studenti iscritti all’insegnamento.
Texts:
H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer.
L. C. Evans. Partial Differential Equations, AMS.
B. Rynne and M.A. Youngson, Linear Functional Analysis, Springer.
Notes and exercises will be available on the teaching portal for students attending the course.
Modalità di esame: Prova orale facoltativa; Prova scritta su carta con videosorveglianza dei docenti;
L’esame è volto ad accertare la conoscenza delle basi teoriche elencate nel programma e la capacità di applicare le conoscenze acquisite nella soluzione di esercizi teorici e nella trattazione di problemi di analisi funzionale e equazioni alle derivate parziali.
L’esame è costituito da una prova scritta eventualmente seguita da una prova orale.
PROVA SCRITTA: è comprensiva di quesiti teorici ed esercizi sugli argomenti del programma dei due moduli dell’insegnamento. La durata della prova scritta è di 2,5 ore. Durante lo scritto non si possono consultare libri o appunti.
PROVA ORALE: riguarda gli argomenti del programma e può includere la discussione dello scritto. La prova orale viene effettuata su richiesta del docente o dello studente (in caso di valutazione sufficiente della prova scritta).
Il voto finale, espresso in trentesimi, tiene conto, in egual misura, del punteggio conseguito sui quesiti di Analisi Funzionale e di Equazioni alle derivate parziali, e dell'esito dell'eventuale prova orale. La votazione massima è di 30/30 e l’esito è considerato sufficiente se è maggiore o uguale a 18/30.
Exam: Optional oral exam; Paper-based written test with video surveillance of the teaching staff;
The exam aims to test the knowledge of the theoretical notions and the ability to apply them in solving exercises of Functional Analysis and Partial Differential Equations.
The exam consists of a written test that may be completed by an oral exam.
WRITTEN EXAM: it consists of theoretical questions and exercises about the subjects of the two parts of the program. The written exam takes 2,5 hours. During the written exam it is forbidden to use either books or notes.
ORAL EXAM: it concerns the subjects of the program and it might include a discussion of the written test. The oral exam can be requested either by the teacher or by the student (only when the written test is sufficient).
The final mark takes into account, in equal measure, the scores obtained in Functional Analysis and Partial Differential Equations, and the score of the oral exam (when it takes places). The maximum mark is 30/30 and the final mark is sufficient if it is greater or equal than 18/30.
Modalità di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale facoltativa; Prova scritta su carta con videosorveglianza dei docenti;
L’esame è volto ad accertare la conoscenza delle basi teoriche elencate nel programma e la capacità di applicare le conoscenze acquisite nella soluzione di esercizi teorici e nella trattazione di problemi di analisi funzionale e equazioni alle derivate parziali.
L’esame è costituito da una prova scritta eventualmente seguita da una prova orale.
PROVA SCRITTA: è comprensiva di quesiti teorici ed esercizi sugli argomenti del programma dei due moduli dell’insegnamento. La durata della prova scritta è di 2,5 ore. Durante lo scritto non si possono consultare libri o appunti.
PROVA ORALE: riguarda gli argomenti del programma e può includere la discussione dello scritto. La prova orale viene effettuata su richiesta del docente o dello studente (in caso di valutazione sufficiente della prova scritta).
Il voto finale, espresso in trentesimi, tiene conto, in egual misura, del punteggio conseguito sui quesiti di Analisi Funzionale e di Equazioni alle derivate parziali, e dell'esito dell'eventuale prova orale. La votazione massima è di 30/30 e l’esito è considerato sufficiente se è maggiore o uguale a 18/30.
Exam: Written test; Optional oral exam; Paper-based written test with video surveillance of the teaching staff;
The exam aims to test the knowledge of the theoretical notions and the ability to apply them in solving exercises of Functional Analysis and Partial Differential Equations.
The exam consists of a written test that may be completed by an oral exam.
WRITTEN EXAM: it consists of theoretical questions and exercises about the subjects of the two parts of the program. The written exam takes 2,5 hours. During the written exam it is forbidden to use either books or notes.
ORAL EXAM: it concerns the subjects of the program and it might include a discussion of the written test. The oral exam can be requested either by the teacher or by the student (only when the written test is sufficient).
The final mark takes into account, in equal measure, the scores obtained in Functional Analysis and Partial Differential Equations, and the score of the oral exam (when it takes places). The maximum mark is 30/30 and the final mark is sufficient if it is greater or equal than 18/30.