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Toric varieties

01TTXRT

A.A. 2020/21

Course Language

Inglese

Degree programme(s)

Doctorate Research in Matematica Pura E Applicata - Torino

Course structure
Teaching Hours
Lezioni 30
Lecturers
Teacher Status SSD h.Les h.Ex h.Lab h.Tut Years teaching
Co-lectures
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Context
SSD CFU Activities Area context
*** N/A ***    
Date d'appello
Orario delle lezioni
Statistiche superamento esami
L'obiettivo del corso č quello di presentare e correlare tra loro i diversi modi di introdurre e studiare le varietą toriche. Data l'enorme mole di materiale bibliografico su questo argomento, l'attenzione principale non sarą tanto rivolta alla dimostrazione dei molti risultati, spesso di natura combinatorica e non molto istruttive dal punto di vista algebro-geometrico, quanto a correlare tra loro i diversi approcci, privilegiando la possibilitą di lavorare esplicitamente su esempi significativi.
The aim of this course will be presenting the main known different approaching to toric varieties. Due to the huge amount of bibliographic references on this topic, the main attention will not be so much turned on giving proofs of many well known results, often characterized by a strong combinatorial afflatus and not so much intresting from the algebro-geometric point of view. Rather to drawing a way to quick correlating the different approaches, and favoring the possibility of explicitly working on significant examples.
conoscenze base di geometria algebrica affine e proiettiva.
basic concepts of affine and projective algebric geometry.
0 - Alcuni preliminari di geometria algebrica (Spec e schemi) 1 - L'approccio classico via coni e ventagli. Definizione di varietą torica. Due reticoli importanti associati ad una varietą torica. Primi esempi Coni a varietą toriche affini. Ventagli di coni e varietą toriche associate. Facce e orbite. Proprietą fondamentali: Q-fattorialitą, completezza e proiettivitą. Esempi. 2 - La descrizione di Cox via azioni e quozienti. Divisori su varietą toriche. L'anello di Cox o anello delle coordinate omogenee. Azioni e quozienti. 3 - Varietą toriche associate a politopi. Politopi razionali e politopi interi. Ventagli normali. Varietą toriche associate ad un politopo. Politopo associato ad un divisore. La dualitą polare e la simmetria speculare di Batyrev. 4 - Varietą toriche definite via "mazzi" di coni. Dualitą di Gale. Coni di divisori. Il ventaglio secondario. Mazzi di coni e camere del ventaglio secondario. Uno sguardo agli spazi ideali di Mori. SUGGESTED TEXTBOOKS AND READINGS References. 1. D.Cox Lecturs on Toric Varieties 2. Cox, D. A., Little, J. B., and Schenck, H. K. Toric varieties vol. 124 of Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, Providence, RI, 2011. 3. Arzhantsev, I., Derenthal, U., Hausen, J., and Laface, A. Cox rings vol. 144 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge, 2015.
0 - Some preliminaries in algebric geometry (Spec and schemes) 1 - The classical approach via cones and fans. Definition of a toric variety (t.v.). Two important lattices associated with a t.v.. Basic examples. Cones and affine t.v.'s. Fans a their toric varieties. Orbits and faces. Properties of t.v.'s: Q-factoriality, completeness, projectiveness. Examples. 2 - The Cox's quotient description of a toric variety. Divisors on toric varieties. The homogeneous coordinate ring (Cox ring). The quotient construction. 3 - Toric varieties via polytopes. Polytopes and lattice polytopes. Normal fans. Toric varieties associated with a polytope. Polytope associated with a divisor. Polar duality and Batyrev mirror symmetric construction. 4 - Toric varieties via bunches of cones. Gale Duality. Cones of divisors. The secondary fan. Bunch of cones and chambers of the secondary fan. A few words about a Mori Dream space. SUGGESTED TEXTBOOKS AND READINGS References. 1. D.Cox Lecturs on Toric Varieties 2. Cox, D. A., Little, J. B., and Schenck, H. K. Toric varieties vol. 124 of Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, Providence, RI, 2011. 3. Arzhantsev, I., Derenthal, U., Hausen, J., and Laface, A. Cox rings vol. 144 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge University Press, Cambridge, 2015.
Modalitą mista
Mixed mode
Presentazione orale
Oral presentation
P.D.2-2 - Marzo
P.D.2-2 - March