L'insegnamento - rivolto a studenti della Laurea Magistrale in Ingegneria Meccanica - è dedicato alla trattazione matematica di sistemi meccanici con un numero finito di gradi di libertà. A partire dalle equazioni del moto, si ottengono le equazioni differenziali alle derivate ordinarie secondo il formalismo di Lagrange o di Hamilton per sistemi olonomi a vincoli perfetti. Una trattazione specifica è dedicata ai vincoli non olonomi, in particolare al vincolo di puro rotolamento nello spazio, e al loro significato geometrico. La seconda parte dell'insegnamento è dedicata all'analisi qualitativa e quantitativa di problemi meccanici, per via analitica o numerica. Vengono introdotti nozioni di stabilità secondo Lyapunov, fenomeni di biforcazione stazionaria o di Hopf e l'emergere di comportamenti caotici. Tutti i sistemi di equazioni studiati nell'insegnamento sono introdotti sulla base di motivati esempi ingegneristici.

Lo studente acquisisce gli strumenti per dedurre e studiare le equazioni differenziali del moto di un sistema meccanico discreto. Utilizzando tali equazioni egli è in grado di determinare gli stati di equilibrio, studiarne la stabilità e prevedere l'evoluzione temporale del sistema, con metodi analitici o effettuando opportune simulazioni numeriche correttamente interpretate.

Fondamenti della meccanica classica ed elementi di teoria delle equazioni differenziali ordinarie. Tali argomenti fanno parte degli insegnamenti di matematica di base della laurea triennale.

1 Richiami di meccanica dei sistemi discreti 1.1 Moto del punto materiale libero e vincolato. 1.2 Matrici ortogonali, rotazioni. 1.3 Moti relativi. 1.4 Il corpo rigido, gli angoli di Eulero, cinematica del corpo rigido. 1.5 Il tensore d'inerzia. Le equazioni di bilancio della meccanica per un corpo rigido nello spazio. . 2. Descrizione dei sistemi meccanici con la Meccanica Analitica. 2.1. Coordinate generalizzate e spazio delle configurazioni. 2.2 Vincoli olonomi e anolonomi. 2.3. Forze generalizzate. 3 Il Principio dei Lavori Virtuali. 3.1. Vincoli perfetti. Il Principio dei Lavori Virtuali. 3.2. Studio dell’equilibrio dei corpi rigidi con il principio dei lavori virtuali. 4. Le Equazioni di Lagrange derivate dal principio dei lavori virtuali. 4.1 Corpo rigido libero, stabilità delle rotazioni attorno ad un asse principale. 4.2 La trottola di Lagrange. 4.3 Oscillazioni isocrone di un pendolo nonlineare: tautocrona. 5. Cenni di metodi perturbativi . 5.1 Il pendolo di Kapitza. 5.2 Equazione di Duffing. Metodo di Lindstedt-Poincarè. 6. Cenni di calcolo variazionale. 6.1 Funzionali e derivata secondo Frechet di un funzionale. 6.2 Brachistocrona. 6.3 Principio di Hamilton. 6.4 Equazioni di Lagrange derivate dal principio di Hamilton. 6.5 Vincoli anolonomi, equazioni di Lagrange per vincoli anolonomi. 6.6 Disco che rotola su un piano, pattino che scivola su un piano inclinato. 7. Sistemi Dinamici. 7.1 Il teorema di Cauchy. 7.1. Stabilità lineare, classificazione dei punti singolari in 2D. 7.2 Metodo della funzione di Ljapunov. 7.3. Biforcazioni. 7.4 Cicli limite: l'orologio meccanico, l'equazione di Van der Pol. 7.5 Fenomenologia dei moti caotici.

1 Richiami di meccanica dei sistemi discreti (5 ore di lezione) 2 Descrizione dei sistemi meccanici con la Meccanica Analitica (5 ore di lezione) 3 Il Principio dei Lavori Virtuali (5 ore di lezione + 2 esercitazione) 4. Le Equazioni di Lagrange derivate dal principio dei lavori virtuali (15 ore di lezione + 10 esercitazione) 5. Cenni di metodi perturbativi (10 ore di lezione ) 6. Cenni di calcolo variazionale (10 ore di lezione) 7. Sistemi Dinamici (10 ore di lezione + 8 esercitazione)

G.Benettin "Appunti per il corso di Fisica Matematica", 2016-2017 https://www.math.unipd.it/~benettin/links-mecc/dispense.pdf

Modalità di esame: Prova orale obbligatoria; Prova scritta su carta con videosorveglianza dei docenti;

Prova scritta su carta con videosorveglianza del docente: della durata indicativa di 1 ora e mezzo, con svolgimento di uno o più esercizi di meccanica lagrangiana o sistemi dinamici. La prova scritta potrà essere sostituita su base volontaria dello studente da tre elaborati scritti individuali proposti dal docente e consegnati dallo studente nel corso dell'insegnamento. Prova orale: discussione di due domande di teoria tratte dagli argomenti indicati nel programma e svolti a lezione. La valutazione della eventuale prova scritta viene fatta immediatamente, contestualmente alla prova orale.

Modalità di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale obbligatoria;

Prova scritta in aula con sorveglianza del docente: della durata indicativa di 1 ora e mezzo, con svolgimento di uno o più esercizi di meccanica lagrangiana o sistemi dinamici. La prova scritta potrà essere sostituita su base volontaria dello studente da tre elaborati scritti individuali proposti dal docente e consegnati dallo studente nel corso dell'insegnamento. Prova orale: discussione di due domande di teoria tratte dagli argomenti indicati nel programma e svolti a lezione. La valutazione della eventuale prova scritta viene fatta immediatamente, contestualmente alla prova orale.