L'insegnamento ha l'obiettivo di fornire agli studenti gli strumenti matematici di base del Calcolo delle Variazioni, per la corretta impostazione di problemi di minimizzazione e ottimizzazione. Particolare attenzione verrà data a questioni riguardanti l'esistenza delle soluzioni e la loro caratterizzazione tramite condizioni necessarie per l'ottimalità, quali le equazioni di Eulero-Lagrange. Verrà inoltre mostrato come numerosi problemi, pur non nascendo inizialmente dalla minimizzazione di un funzionale, possono essere inquadrati in un contesto variazionale, presentando in tal modo il Calcolo delle Variazioni come uno strumento utile per la risoluzione di problemi di natura molto diversa. Oltre a princìpi e tecniche generali, verranno presentati e discussi numerosi esempi e applicazioni di tipo fisico-matematico, tra cui le applicazioni ai problemi di Sturm-Liouville e al Principio di Minima Azione in meccanica. In particolare, verrà mostrata e discussa l’efficacia dell’approccio variazionale nella modellizzazione, formalizzazione e caratterizzazione di problemi fisici e ingegneristici, fornendo agli Studenti alcuni elementi essenziali per "leggere" i problemi proposti in chiave variazionale. A tal proposito, saranno studiati problemi tratti dalla Meccanica e dall’Elettromagnetismo e, per ciascuno dei casi studiati, si dedurranno le equazioni che ne descrivono l’evoluzione temporale e/o spaziale, nonché le eventuali leggi di conservazione.

Conoscenza dei principi generali del Calcolo delle Variazioni, tra cui in particolare il Metodo Diretto, i concetti di semicontinuità e coercività, la forma debole e forte delle equazioni di Eulero-Lagrange, e le principali forme di condizioni al bordo (Dirichlet, Neumann, miste). Capacità di impostare in modo rigoroso un tipico problema di minimizzazione, scegliendo un opportuno spazio funzionale che tenga conto della crescita del funzionale e delle eventuali condizioni al bordo. Capacità di applicare la teoria generale a problemi specifici: in particolare, saper discutere l’esistenza di una soluzione per un problema di minimizzazione, e saper ricavare le condizioni di ottimalità da essa verificate.

Si presuppone la conoscenza degli argomenti trattati negli insegnamenti di Analisi Matematica I e II, Geometria, e Analisi Funzionale.

Presentazione e impostazione di alcuni problemi classici: isoperimetri, brachistocrona, catenaria e superfici di rotazione di area minima. Cenni storici: il Principio di Dirichlet e il controesempio di Weierstrass. L'approccio moderno tramite compattezza e semicontinuità: il "metodo diretto" e il ruolo della convessità. Caratterizzazione della convergenza debole negli spazi Lp e di Sobolev. Il quoziente di Rayleigh e applicazioni agli autovalori. Problemi di tipo Sturm-Liouville. Differenti tipi di condizioni al contorno: Dirichlet, Neumann o miste. Derivata di Gateaux. Condizioni di ottimalità ed equazioni di Eulero-Lagrange. Applicazioni alle equazioni differenziali. Gli spazi di Sobolev come ambiente naturale. Soluzioni classiche e soluzioni deboli. Cenni sulla regolarità nel caso unidimensionale, e ritorno alla soluzione classica. Applicazioni alla meccanica e Principio di Minima Azione. Cenni di applicazioni alle equazioni alle derivate parziali. Le equazioni di Laplace e di Poisson. Problemi vincolati e moltiplicatori di Lagrange. Ulteriori esempi e applicazioni, e studio dettagliato di alcuni esempi specifici. Approccio variazionale a problemi meccanici: sistemi oscillanti con e senza termini dissipativi e/o forzanti; trave elastica sottoposta a flessione; cenni alla Teoria della Elasticità non lineare. Approccio variazionale a problemi elettromagnetici: deduzione delle equazioni di Maxwell dal Principio di Azione Stazionaria; deduzione variazionale della forza di Lorentz; funzione di Lagrange ed equazioni dinamiche di alcuni circuiti elettrici costituiti da resistori, induttori e condensatori.

L'insegnamento consta di lezioni (50 ore) ed esercitazioni in aula (30 ore), per un totale di 80 ore. Le lezioni sono dedicate alla presentazione degli argomenti del programma con definizioni, proprietà ed alcune dimostrazioni ritenute utili per una migliore comprensione degli argomenti e per fornire gli strumenti necessari per sviluppare capacità di ragionamento logico-deduttivo da parte dello studente. Ogni argomento teorico trattato nelle lezioni viene arricchito da esempi introduttivi. Le ore di esercitazione sono dedicate allo svolgimento di esercizi e alla discussione di ulteriori esempi, allo scopo principale di preparare lo studente alla prova di esame.

Saranno rese disponibili a portale delle dispense preparate appositamente per il corso.

Modalità di esame: Prova orale obbligatoria; Elaborato scritto prodotto in gruppo;

L’esame, che consiste in una prova orale, ha l’obiettivo di accertare la conoscenza degli argomenti trattati nel corso e la capacità di applicare la teoria generale alla risoluzione di esercizi, sul modello degli esercizi e degli esempi illustrati durante le lezioni e le esercitazioni del corso. Durante l'orale sarà anche possibile discutere un elaborato, preparato in precedenza dagli studenti in gruppi di tre o quattro e consegnato al docente prima dell'esame, nel quale viene risolto in dettaglio un problema variazionale assegnato durante il corso.

Modalità di esame: Prova orale obbligatoria; Elaborato scritto prodotto in gruppo;

L’esame, che consiste in una prova orale, ha l’obiettivo di accertare la conoscenza degli argomenti trattati nel corso e la capacità di applicare la teoria generale alla risoluzione di esercizi, sul modello degli esercizi e degli esempi illustrati durante le lezioni e le esercitazioni del corso. Durante l'orale sarà anche possibile discutere un elaborato, preparato in precedenza dagli studenti in gruppi di tre o quattro, nel quale viene risolto in dettaglio un problema variazionale assegnato durante il corso.