Il corso si propone di introdurre gli studenti alla teoria matematica della meccanica quale prototipo di formalizzazione rigorosa di fenomeni fisici. L’enfasi del corso sarà posta sulla meccanica del corpo rigido, sulla meccanica dei sistemi articolati e sulla meccanica lagrangiana.

Al termine del corso gli studenti saranno in grado di: (i) caratterizzare grandezze cinematiche fondamentali per la descrizione del moto di sistemi meccanici complessi dotati di un numero finito di gradi di libertà e stabilire relazioni tra grandezze valutate in sistemi di riferimento diversi, inerziali e non; (ii) studiare le configurazioni statiche di tali sistemi sottoposti all'azione di forze esterne e analizzarne la stabilità; (iii) calcolare le reazioni vincolari agenti su tali sistemi in condizioni statiche; (iv) scrivere le equazioni differenziali che governano il moto di tali sistemi; (v) studiare opportune approssimazioni del moto di questi sistemi nell'intorno delle configurazioni di equilibrio stabili. Lo studente avrà inoltre acquisito familiarità con i concetti di lavoro virtuale, potenza, energia cinetica e potenziale, i quali trovano ampia applicazione oltre il perimetro della meccanica razionale.

Familiarità con metodologie di base apprese nei corsi di Analisi Matematica I, Analisi Matematica II e Geometria.

- Richiami di calcolo vettoriale in R^3. Prodotto scalare e modulo, basi e componenti, cambiamenti di base, prodotto vettoriale, prodotto misto, sistemi di vettori applicati, centro di un sistema di vettori paralleli. - Richiami di geometria differenziale di curve e superfici. Lunghezza di una curva, ascissa curvilinea, terna intrinseca (versori tangente, normale e binormale), parametrizzazione di una superficie, spazio tangente. - Cinematica del punto. Traiettoria e legge oraria, velocità, accelerazione. - Cinematica del corpo rigido. Vincolo di rigidità, configurazioni rigide, teorema di Poisson e velocità angolare, leggi di distribuzione delle velocità e delle accelerazioni, particolari moti rigidi (moto traslatorio, rototraslatorio, rotatorio e piano), atto di moto, centro istantaneo di rotazione per moti piani, teorema di Chasles. - Cinematica relativa. Derivata di un vettore rispetto a due osservatori, legge di composizione delle velocità (teorema di Galileo), legge di composizione delle accelerazioni (teorema di Coriolis), legge di composizione delle velocità angolari. - Sistemi vincolati. Classificazione dei vincoli (vincoli olonomi, anolonomi, bilateri, unilateri, scleronomi e reonomi), coordinate lagrangiane e gradi di libertà, velocità e spostamenti virtuali. - Geometria delle aree e delle masse. Caratteristiche geometriche delle sezioni piane, baricentro, centro di massa, momenti statici, momenti di inerzia, teorema di Huygens-Steiner, matrice di inerzia, assi principali di inerzia. Esempi di calcolo delle caratteristiche geometriche di sezioni piane notevoli – rettangolo, quadrato, cerchio, sezioni composte da rettangoli (sezioni a T, a doppia T, a U). - Equazioni cardinali della dinamica. Sistemi di forze, forza risultante e momento risultante, lavoro e lavoro virtuale di una forza, lavoro di forze su un sistema olonomo, forze generalizzate, lavoro di forze su un sistema rigido, dinamica del punto materiale, postulato delle reazioni vincolari, vincoli ideali, quantità di moto, momento delle quantità di moto, prima equazione cardinale della dinamica, seconda equazione cardinale della dinamica, espressione del momento delle quantità di moto e della sua derivata temporale per sistemi rigidi, equazioni di Eulero, equazioni pure del moto, integrali primi del moto. - Statica ed equilibrio. Prima equazione cardinale della statica, seconda equazione cardinale della statica, principio dei lavori virtuali, statica dei sistemi rigidi, statica dei sistemi olonomi, configurazioni di equilibrio ordinarie e di confine, potenziale e teorema di stazionarietà del potenziale, stabilità (in senso statico), massimi del potenziale. - Energia cinetica. Teorema di König, espressione dell'energia cinetica per un sistema rigido e per un sistema olonomo, matrice di massa, potenza di forze, teorema dell'energia cinetica, conservazione dell'energia meccanica. - Meccanica lagrangiana. Equazioni di Lagrange per sistemi olonomi, lagrangiana, integrale primo dei momenti cinetici. - Piccoli moti. Linearizzazione delle equazioni di Lagrange, pulsazioni e frequenze proprie di oscillazione.

Il corso si articola in: - lezioni teoriche frontali (50 ore); - esercitazioni in aula (30 ore). Durante le esercitazioni verrano risolti problemi riguardanti principalmente i seguenti argomenti: - cinematica del punto e del corpo rigido liberi e vincolati; - cinematica relativa; - calcolo delle caratteristiche geometriche di sezioni piane; - equazioni cardinali della dinamica; - equazioni cardinali della statica; - principio dei lavori virtuali e stazionarietà del potenziale; - determinazione delle configurazioni di equilibrio di un sistema meccanico e analisi della loro stabilità; - calcolo delle reazioni vincolari in condizioni dinamiche e statiche; - equazioni di Lagrange; - linearizzazione delle equazioni del moto nell’intorno di configurazioni di equilibrio stabili. Durante le esercitazioni si proporrà altresì la risoluzione di temi d'esame degli anni passati.

Per la teoria: - P. Biscari, T. Ruggeri, G. Saccomandi, M. Vianello. Meccanica Razionale, Springer, 2016. Per gli esercizi: - A. Muracchini, T. Ruggeri, L. Seccia. Esercizi e temi d'esame di Meccanica razionale, Esculapio, 2013. Durante le ore di esercitazione saranno resi disponibili, e parzialmente svolti, ulteriori esercizi sui vari argomenti del corso. Sul Portale della Didattica sarà inoltre messa a disposizione degli studenti una raccolta di temi d'esame svolti assegnati agli appelli degli anni passati.

Modalità di esame: Prova orale facoltativa; Prova scritta tramite PC con l'utilizzo della piattaforma di ateneo;

L’esame è costituito da una prova scritta svolta al PC della durata di 120 minuti, finalizzata a verificare le conoscenze teoriche degli studenti e la loro capacità di studiare il comportamento qualitativo di sistemi meccanici. La prova è strutturata in due parti: Parte 1. Quiz di teoria a risposta chiusa; Parte 2. Esercizi sugli argomenti svolti a lezione e durante le esercitazioni, che comprendono alcune domande con possibili risposte VERO/FALSO. Il punteggio massimo conseguibile con la prova scritta è 31, corrispondente ad una votazione di 30L. L’esame può comprendere anche una prova orale, ad integrazione di quella scritta, su richiesta dello studente se risultato sufficiente allo scritto (votazione non inferiore a 18) o per libera decisione del docente nel caso in cui sia opportuno un approfondimento. La prova orale consiste in domande che possono includere sia la dimostrazione di teoremi sia l’applicazione di tecniche descrittive e risolutive sviluppate durante le lezioni e le esercitazioni. Se richiesta, la prova orale concorre a determinare il voto finale dell’esame insieme con quella scritta. In particolare, essa può comportare sia l’innalzamento sia l’abbassamento del voto conseguito allo scritto senza limiti predefiniti.

Modalità di esame: Test informatizzato in laboratorio; Prova orale facoltativa; Prova scritta tramite PC con l'utilizzo della piattaforma di ateneo;

L’esame è costituito da una prova scritta svolta al PC della durata di 120 minuti, finalizzata a verificare le conoscenze teoriche degli studenti e la loro capacità di studiare il comportamento qualitativo di sistemi meccanici. La prova è strutturata in due parti: Parte 1. Quiz di teoria a risposta chiusa; Parte 2. Esercizi sugli argomenti svolti a lezione e durante le esercitazioni, che comprendono alcune domande con possibili risposte VERO/FALSO. Il punteggio massimo conseguibile con la prova scritta è 31, corrispondente ad una votazione di 30L. L’esame può comprendere anche una prova orale, ad integrazione di quella scritta, su richiesta dello studente se risultato sufficiente allo scritto (votazione non inferiore a 18) o per libera decisione del docente nel caso in cui sia opportuno un approfondimento. La prova orale consiste in domande che possono includere sia la dimostrazione di teoremi sia l’applicazione di tecniche descrittive e risolutive sviluppate durante le lezioni e le esercitazioni. Se richiesta, la prova orale concorre a determinare il voto finale dell’esame insieme con quella scritta. In particolare, essa può comportare sia l’innalzamento sia l’abbassamento del voto conseguito allo scritto senza limiti predefiniti.