L'insegnamento si propone di completare la formazione matematica di base, fornendo elementi della teoria delle funzioni di variabile complessa, della teoria delle distribuzioni, delle trasformate di Fourier e Laplace, ed infine della probabilità discreta e continua. Tali argomenti rivestono un ruolo centrale nelle applicazioni ingegneristiche; l'insegnamento sarà corredato da molti esempi che offriranno spunti per ulteriori approfondimenti.

Lo studente acquisisce una serie di concetti matematici di base e di strumenti per risolvere problemi di varia natura che spaziano dall'analisi dei segnali allo studio di fenomeni aleatori. La teoria delle distribuzioni fornisce un linguaggio generale e flessibile per trattare i segnali di qualunque natura essi siano (impulsivi, discontinui, ecc.): tale teoria è l'ambito naturale per lo studio delle trasformate di Fourier e di Laplace. Lo studente apprende le tecniche di base per il calcolo delle trasformate e acquisisce un bagaglio di trasformate fondamentali (delta, treni di delta, funzioni discontinue). La teoria delle funzioni di variabile complessa offre il linguaggio adeguato per lo studio della trasformata di Laplace e gli strumenti avanzati per l'analisi dei fenomeni singolari e per il calcolo degli integrali. Inoltre, lo studente apprende gli strumenti probabilistici necessari per trattare problemi dominati dall'incertezza, tipici dell'analisi di fenomeni non deterministici e del comportamento di variabili in essa coinvolte. Al termine dell'insegnamento lo studente sarà in grado di valutare la probabilità del verificarsi di eventi e di effettuare previsioni su fenomeni casuali nell'ambito dell'ingegneria elettronica e delle telecomunicazioni. La capacità di applicare le conoscenze acquisite sarà verificata mediante discussioni ed esercitazioni in aula.

E' prerequisito necessario una buona dimestichezza con i concetti e gli strumenti matematici presentati nei corsi del I anno; nello specifico, del calcolo differenziale e integrale in una o più variabili.

1. (2,7 CFU) Funzioni di variabile complessa: derivabilità, condizioni di Cauchy-Riemann, integrali su curve. Teorema di Cauchy, formula integrale di Cauchy, sviluppabilità di funzioni analitiche in serie di Taylor e di Laurent. Teorema dei residui, calcolo dei residui e calcolo di integrali con il metodo dei residui. 2. (1,5 CFU) Teoria delle distribuzioni: definizione ed operazioni fondamentali (operazioni algebriche, traslazione, riscalamento, derivazione), distribuzioni delta, v.p. 1/t, treno di impulsi. Prodotto di convoluzione per funzioni e distribuzioni. 3. (1,8 CFU) Trasformata di Fourier e Laplace per funzioni e distribuzioni temperate: definizioni, proprietà, antitrasformate, formula di inversione. Trasformate notevoli. 4. (1,5 CFU) Elementi di calcolo combinatorio, misure di probabilità e relative proprietà elementari. Probabilità condizionata e indipendenza. 5. (1,5 CFU) Variabili casuali discrete e assolutamente continue. Alcuni esempi notevoli. Valori attesi. 6. (1 CFU) Distribuzioni congiunte. Indipendenza e correlazione.

Le esercitazioni seguiranno gli argomenti delle lezioni; in parte saranno svolte alla lavagna dal personale docente, in parte richiederanno la partecipazione attiva degli allievi.

Saranno utilizzate dispense ed esercizi disponibili in rete. Per la parte di probabilità si consiglia il testo: Ross, S. 'Calcolo delle Probabilità', Ed. Apogeo, 2013 (o qualsiasi altra edizione).

Modalità di esame: Prova orale facoltativa; Prova scritta tramite PC con l'utilizzo della piattaforma di ateneo;

La durata dell'esame è di 1,5 ore. Durante la prova gli studenti possono utilizzare in formato cartaceo solo i formulari predisposti dai docenti e disponibili sul portale della didattica, una penna e alcuni fogli bianchi. E' consentito l'uso della calcolatrice incorporata nel LockDown Browser Respondus. La prova è costituita da due parti: 1. dieci quiz a risposta multipla, di cui sei di Analisi e quattro di Probabilità; 2. due esercizi, uno di Analisi e uno di Probabilità (ciascuno composto da più domande). Per ogni quiz sono contemplate quattro possibili risposte, una sola delle quali è corretta. Ogni quiz è valutato 1 punto se corretto e 0 punti altrimenti, per un punteggio massimo della parte di quiz pari a 10 punti. L'obiettivo dei quiz a risposta multipla è verificare l'apprendimento dei concetti di base di entrambi i moduli in cui è articolato il corso. Ognuno dei due esercizi è strutturato in una forma guidata che consiste di una serie di domande con possibili risposte VERO o FALSO, ognuna con un suo specifico punteggio e con un'opportuna penalizzazione in caso di risposta errata. In caso di risposta non data, viene attribuito un punteggio uguale a zero. Il punteggio massimo dell'esercizio di Analisi è 13 punti, quello dell'esercizio di Probabilità è 9 punti. Lo scopo degli esercizi della seconda parte è verificare la conoscenza e la capacità di trattare problemi di analisi complessa, distribuzioni, trasformate di Fourier e di Laplace, probabilità, variabili aleatorie e valori attesi. La prova d'esame si considera superata se il punteggio ottenuto è superiore o uguale a 18/30, con almeno 6/30 acquisiti nella parte di Analisi ed almeno 4/30 acquisiti nella parte di Probabilità. Se il punteggio totale è non superiore a 30 esso rappresenta il voto finale espresso in trentesimi. Se il punteggio finale è invece 31 o 32, il voto finale è 30 o 30 e lode rispettivamente. Conclusa la prova, i docenti controlleranno il superamento delle suddette soglie di 6/30 e 4/30 per le parti di Analisi e Probabilità rispettivamente, e procederanno alla verifica del regolare svolgimento della prova. Solo successivamente verranno resi noti i risultati. Il docente a sua discrezione ha la facoltà di richiedere una prova orale nel caso in cui sia opportuno un approfondimento per verificare il grado di preparazione dello studente. Solo gli studenti che hanno superato la prova scritta possono chiedere di sostenere anche la prova orale. Se richiesta, la prova orale concorre a determinare il voto finale dell'esame insieme con quella scritta. In particolare, essa può comportare sia l'innalzamento sia abbassamento del voto conseguito allo scritto in base alla prestazione dello studente.

Modalità di esame: Test informatizzato in laboratorio; Prova orale facoltativa; Prova scritta tramite PC con l'utilizzo della piattaforma di ateneo;

La durata dell'esame è di 1,5 ore. Durante la prova gli studenti possono utilizzare in formato cartaceo solo i formulari predisposti dai docenti e disponibili sul portale della didattica, una penna e alcuni fogli bianchi. Per l'esame in remoto è consentito l'uso della calcolatrice incorporata nel LockDown Browser Respondus. Per l'esame in presenza è consentito l'uso di una calcolatrice non programmabile. La prova è costituita da due parti: 1. dieci quiz a risposta multipla, di cui sei di Analisi e quattro di Probabilità; 2. due esercizi, uno di Analisi e uno di Probabilità (ciascuno composto da più domande). Per ogni quiz sono contemplate quattro possibili risposte, una sola delle quali è corretta. Ogni quiz è valutato 1 punto se corretto e 0 punti altrimenti, per un punteggio massimo della parte di quiz pari a 10 punti. L'obiettivo dei quiz a risposta multipla è verificare l'apprendimento dei concetti di base di entrambi i moduli in cui è articolato il corso. Ognuno dei due esercizi è strutturato in una forma guidata che consiste di una serie di domande con possibili risposte VERO o FALSO, ognuna con un suo specifico punteggio e con un'opportuna penalizzazione in caso di risposta errata. In caso di risposta non data, viene attribuito un punteggio uguale a zero. Il punteggio massimo dell'esercizio di Analisi è 13 punti, quello dell'esercizio di Probabilità è 9 punti. Lo scopo degli esercizi della seconda parte è verificare la conoscenza e la capacità di trattare problemi di analisi complessa, distribuzioni, trasformate di Fourier e di Laplace, probabilità, variabili aleatorie e valori attesi. La prova d'esame si considera superata se il punteggio ottenuto è superiore o uguale a 18/30, con almeno 6/30 acquisiti nella parte di Analisi ed almeno 4/30 acquisiti nella parte di Probabilità. Se il punteggio totale è non superiore a 30 esso rappresenta il voto finale espresso in trentesimi. Se il punteggio finale è invece 31 o 32, il voto finale è 30 o 30 e lode rispettivamente. Conclusa la prova, i docenti controlleranno il superamento delle suddette soglie di 6/30 e 4/30 per le parti di Analisi e Probabilità rispettivamente, e procederanno alla verifica del regolare svolgimento della prova. Solo successivamente verranno resi noti i risultati. Il docente a sua discrezione ha la facoltà di richiedere una prova orale nel caso in cui sia opportuno un approfondimento per verificare il grado di preparazione dello studente. Solo gli studenti che hanno superato la prova scritta possono chiedere di sostenere anche la prova orale. Se richiesta, la prova orale concorre a determinare il voto finale dell'esame insieme con quella scritta. In particolare, essa può comportare sia l'innalzamento sia abbassamento del voto conseguito allo scritto in base alla prestazione dello studente.