L’insegnamento di Analisi Matematica I costituisce la cerniera tra la scuola media superiore e l’università. Lo scopo principale dell’insegnamento è di abituare gli studenti a seguire la concatenazione di semplici argomentazioni e di insegnare loro gli elementi fondamentali del calcolo differenziale e integrale per le funzioni di una variabile, con applicazioni alle equazioni differenziali ordinarie del primo e del secondo ordine.

Capacità di seguire una catena di ragionamenti logici; comprensione delle proprietà essenziali del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile. Acquisizione di una sufficiente manualità di calcolo.

Insiemi numerici, equazioni e disequazioni, geometria analitica, trigonometria. Le funzioni elementari e le loro prime proprietà.

Richiami: insiemi, operazioni sugli insiemi e simboli logici. Insiemi numerici, massimi e minimi, estremi. Proprietà di completezza dei numeri reali e sue conseguenze. Funzioni: iniettività e suriettività; funzioni composte e inverse. Funzioni reali di variabile reale: funzioni elementari, monotonia e inverse delle funzioni elementari. (Circa 15 ore) Limiti e continuità: Limiti di funzioni e successioni; continuità. Teoremi sui limiti: unicità del limite, permanenza del segno e limitatezza locale, teoremi di confronto. Limiti di funzioni monotone. Algebra dei limiti. Forme indeterminate. Confronto locale di funzioni. Simboli di Landau. Infiniti e infinitesimi. Ordine di infinito e di infinitesimo, parte principale rispetto a un campione. Asintoti. Il numero e. Limiti notevoli trigonometrici ed esponenziali. Funzioni continue su un intervallo: esistenza degli zeri e dei massimi e minimi. (Circa 24 ore) Derivate: significato geometrico e fisico. Regole di derivazione. Derivate delle funzioni elementari. Derivate e continuità. Punti di non derivabilità, punti di estremo e punti critici. Teorema di Fermat. Funzioni derivabili su intervalli e teoremi fondamentali del calcolo differenziale (Rolle e Lagrange) e loro conseguenze. Regola di de L'Hôpital. Formula di Taylor e sviluppi di Maclaurin fondamentali. Uso degli sviluppi di Taylor nello studio del comportamento locale delle funzioni: confronto di funzioni, estremi, convessità. Applicazioni allo studio del grafico di funzioni. (Circa 23 ore) Primitive e regole di calcolo delle primitive; primitive di funzioni razionali. Integrale definito. Proprietà dell’integrale. Media integrale, teorema della media e Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale. Relazione tra primitive e integrazione definita. Integrali impropri: definizioni e criteri di convergenza. (Circa 21 ore) Numeri complessi ed equazioni differenziali: forma algebrica, forma trigonometrica ed esponenziale dei numeri complessi. Parte reale, parte immaginaria, modulo e argomento. Radici dei numeri complessi. Teorema Fondamentale dell'Algebra. Esponenziale di un numero complesso e formule di Eulero. Equazioni differenziali: il problema di Cauchy. Equazioni differenziali del primo ordine, lineari e a variabili separabili. Equazioni differenziali lineari del secondo ordine a coefficienti costanti. (Circa 17 ore)

L’insegnamento consta di 60 ore di lezione e 40 ore di esercitazione. Le lezioni sono dedicate alla presentazione degli argomenti del programma dell'insegnamento con definizioni, teoremi, esempi, proprietà e le dimostrazioni ritenute utili per una migliore comprensione degli argomenti e per fornire gli strumenti necessari per sviluppare capacità di ragionamento logico-deduttivo da parte dello studente. Ogni argomento teorico trattato nelle lezioni viene arricchito da esempi introduttivi. Le ore di esercitazione sono finalizzate ad acquisire una adeguata manualità di calcolo.

I testi di seguito elencati sono da considerarsi indicativi. Maggiori dettagli verranno forniti dal docente in aula. C. Canuto, A. Tabacco. Analisi Matematica I. Springer-Verlag Italia, 2014. S. Lancelotti. Lezioni di Analisi Matematica 1. Celid, 2013. F. Nicola. Analisi Matematica I. Appunti delle lezioni. CLUT, 2018.

Modalità di esame: Prova orale facoltativa; Prova scritta su carta con videosorveglianza dei docenti; Prova scritta tramite PC con l'utilizzo della piattaforma di ateneo;

Verranno monitorate attività in itinere quali, ad esempio, lo svolgimento di test di autovalutazione e di esercizi durante l’intera durata del semestre. L’esame è volto ad accertare la conoscenza teorica degli argomenti elencati nel programma del corso, nonché la capacità di applicare la teoria stessa allo svolgimento di esercizi. Esso consiste in un test con risposte a scelta multipla, seguito da una prova scritta di tipo tradizionale. A queste due prove può eventualmente seguire una prova orale. Il voto finale dell’esame, espresso in trentesimi, viene determinato tenendo conto dei punteggi conseguiti nelle attività in itinere, nel test, nella prova scritta, nonché dell’esito della prova orale, nel caso questa venga effettuata. ATTIVITA’ IN ITINERE. Le attività richiedono la partecipazione attiva dello studente durante il semestre. Saranno dettagliate da ogni docente e richiedono, ad esempio, la risposta a test di autovalutazione, la risoluzione di esercizi da consegnare secondo modalità e scadenze rese note all’inizio del corso. Il punteggio massimo è pari a 3. TEST. Il test, della durata di 45 minuti è svolto al calcolatore con sistema di proctoring, consiste in 15 domande a risposta multipla, con quesiti (anche di tipo teorico) che coprono l’intero programma. La consultazione di libri o altro materiale non è consentita, così come l’utilizzo di qualsivoglia dispositivo elettronico non esplicitamente autorizzato. Ogni risposta esatta vale un punto, e il punteggio massimo è quindi pari a 15. Se il punteggio è inferiore a 8, la prova è considerata insufficiente e l’esame viene registrato come “respinto”. Se invece il punteggio è pari a 8 o superiore, l’esame prosegue e lo studente viene ammesso alla prova scritta. PROVA SCRITTA. La prova scritta, della durata di 75 minuti e durante la quale non è consentito l’uso di libri o altro materiale, così come l’utilizzo di qualsivoglia dispositivo elettronico non esplicitamente autorizzato, consiste tipicamente nello svolgimento di due esercizi aventi vari sottopunti. Questa prova permette di conseguire un punteggio massimo pari a 15 punti. Se il punteggio è inferiore a 8, la prova è considerata insufficiente e l’esame viene registrato come “respinto”. Se invece il punteggio è pari a 8 o superiore, il voto finale dell’esame è dato dalla somma dei punteggi conseguiti nelle attività in itinere, nel test e nella prova scritta, a meno che venga richiesta, da parte del docente (o dello studente, qualora il voto complessivo sia almeno 18/30), una prova orale. PROVA ORALE. L’eventuale prova orale è prevalentemente rivolta ad accertare ulteriormente la conoscenza della teoria appresa nel corso, e costituisce un ulteriore elemento di valutazione. Nel caso in cui venga effettuata anche questa prova, il voto finale dell’esame sarà stabilito tenendo conto sia dei punteggi già conseguiti nelle altre prove, sia dell’esito della prova orale.

Modalità di esame: Test informatizzato in laboratorio; Prova scritta (in aula); Prova orale facoltativa; Prova scritta su carta con videosorveglianza dei docenti; Prova scritta tramite PC con l'utilizzo della piattaforma di ateneo;

Verranno monitorate attività in itinere quali, ad esempio, lo svolgimento di test di autovalutazione e di esercizi durante l’intera durata del semestre. L’esame è volto ad accertare la conoscenza teorica degli argomenti elencati nel programma del corso, nonché la capacità di applicare la teoria stessa allo svolgimento di esercizi. Esso consiste in un test con risposte a scelta multipla, seguito da una prova scritta di tipo tradizionale. A queste due prove può eventualmente seguire una prova orale. Il voto finale dell’esame, espresso in trentesimi, viene determinato tenendo conto dei punteggi conseguiti nelle attività in itinere, nel test, nella prova scritta, nonché dell’esito della prova orale, nel caso questa venga effettuata. ATTIVITA’ IN ITINERE. Le attività richiedono la partecipazione attiva dello studente durante il semestre. Saranno dettagliate da ogni docente e richiedono, ad esempio, la risposta a test di autovalutazione, la risoluzione di esercizi da consegnare secondo modalità e scadenze rese note all’inizio del corso. Il punteggio massimo è pari a 3. TEST. Il test, della durata di 45 minuti è svolto al calcolatore in appositi laboratori oppure da remoto con sistema di proctoring (Respondus), consiste in 15 domande a risposta multipla, con quesiti (anche di tipo teorico) che coprono l’intero programma. La consultazione di libri o altro materiale non è consentita, così come l’utilizzo di qualsivoglia dispositivo elettronico non esplicitamente autorizzato. Ogni risposta esatta vale un punto, e il punteggio massimo è quindi pari a 15. Se il punteggio è inferiore a 8, la prova è considerata insufficiente e l’esame viene registrato come “respinto”. Se invece il punteggio è pari a 8 o superiore, l’esame prosegue e lo studente viene ammesso alla prova scritta. PROVA SCRITTA. La prova scritta, della durata di 75 minuti e durante la quale non è consentito l’uso di libri o altro materiale, così come l’utilizzo di qualsivoglia dispositivo elettronico non esplicitamente autorizzato, consiste tipicamente nello svolgimento di due esercizi aventi vari sottopunti. Questa prova permette di conseguire un punteggio massimo pari a 15 punti. Se il punteggio è inferiore a 8, la prova è considerata insufficiente e l’esame viene registrato come “respinto”. Se invece il punteggio è pari a 8 o superiore, il voto finale dell’esame è dato dalla somma dei punteggi conseguiti nelle attività in itinere, nel test e nella prova scritta, a meno che venga richiesta, da parte del docente (o dello studente, qualora il voto complessivo sia almeno 18/30), una prova orale. PROVA ORALE. L’eventuale prova orale è prevalentemente rivolta ad accertare ulteriormente la conoscenza della teoria appresa nel corso, e costituisce un ulteriore elemento di valutazione. Nel caso in cui venga effettuata anche questa prova, il voto finale dell’esame sarà stabilito tenendo conto sia dei punteggi già conseguiti nelle altre prove, sia dell’esito della prova orale.