L’insegnamento di Algebra Lineare e Geometria ha due obiettivi principali. Il primo è presentare argomenti di base di algebra lineare e geometria analitica, educando al ragionamento logico deduttivo utilizzando un linguaggio formale appropriato. Il secondo obiettivo è presentare agli studenti i concetti fondamentali di alcuni metodi numerici di base dell’algebra lineare e la loro implementazione in ambiente Matlab, software numerico ormai ampiamente diffuso nel campo dell’ingegneria. In questo modo si vuole mostrare come gli aspetti teorici, simbolici e numerici interagiscono tra loro.

L’insegnamento vuole sviluppare la capacità da parte dello studente di comprendere argomenti logico deduttivi sottolineando il ruolo delle ipotesi, ad esempio, tramite la costruzione di esempi e controesempi. Lo studente acquisisce strumenti e tecniche che permettono di operare con enti geometrici (vettori nel piano e nello spazio, rette, piani, coniche e quadriche) e algebrici (sistemi di equazioni lineari, matrici, polinomi, autovalori, autovettori, spazi vettoriali e loro trasformazioni). Lo studente acquisisce inoltre le competenze necessarie per trattare numericamente, anche mediante l’utilizzo di un calcolatore, tutte quelle situazioni in cui i metodi algebrici non sono applicabili con “carta e penna” (ad esempio, risoluzione di un sistema lineare con un numero elevato di incognite ed equazioni). In particolare, lo studente impara a identificare un ente geometrico/algebrico, a riconoscerne le proprietà teoriche e a individuare e applicare il metodo algebrico/numerico più opportuno per il suo trattamento. L’implementazione e l’applicazione dei metodi numerici viene effettuata tramite il software MATLAB, di cui lo studente apprenderà la sintassi di base.

E` richiesta una buona dimestichezza con i concetti e gli strumenti matematici presentati negli insegnamenti del primo semestre. In particolare, sono necessarie le nozioni base sui numeri reali e complessi, su equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, sul calcolo differenziale e integrale in una variabile forniti nell’insegnamento di Analisi Matematica I. E` richiesta inoltre la conoscenza dei principali costrutti sintattici, che si usano per la programmazione, forniti nell’insegnamento di Informatica.

• Vettori nel piano e nello spazio e loro operazioni. Prodotto scalare, prodotto vettoriale e prodotto misto. Rette e piani nello spazio. Proiezioni ortogonali. • Matrici e loro operazioni. Matrici fortemente ridotte per righe. Sistemi di equazioni in forma matriciale e loro risoluzione con applicazioni geometriche. Equazioni matriciali, calcolo dell’inversa di una matrice. Determinanti. • Spazi vettoriali: definizioni, esempi ed applicazioni. Sottospazi vettoriali. Operazioni notevoli fra sottospazi. • Combinazioni lineari e dipendenza lineare. Metodo degli scarti. Basi di uno spazio vettoriale. Dimensione di uno spazio vettoriale. Dimensione di un sottospazio vettoriale finitamente generato. • Lo spazio vettoriale dei polinomi. La formula di Grassmann. • Applicazioni lineari. Immagine di un’applicazione lineare. Applicazioni lineari iniettive e suriettive. Isomorfismi. • Matrice di un’applicazione lineare. Endomorfismi e matrici quadrate. • Autovalori e autovettori. Autospazi di endomorfismi e di matrici. Polinomio caratteristico e spettro di un endomorfismo. Diagonalizzazione di un endomorfismo. • Basi ortonormali, matrici ortogonali. Algoritmo di Gram-Schmidt. Diagonalizzazione di matrici simmetriche mediante matrici ortogonali. Forme quadratiche e carattere di definizione. • Problemi metrici : distanza punto-retta, punto-piano, retta-retta. • Geometria quadratica: coniche, sfere. Quadriche non-degeneri in forma canonica. Riconoscimento di una quadrica. • Aritmetica di macchina: numeri di macchina, operazioni di macchina, errore di arrotondamento. Condizionamento di un problema numerico. Stabilità di un algoritmo. • Approssimazione di funzioni e di dati: interpolazione polinomiale globale e a tratti (spline). Principali risultati di convergenza. • Sistemi lineari: condizionamento e metodi numerici diretti. Fattorizzazioni di matrici: PA=LU, Choleski, QR e loro principali applicazioni. • Autovalori di matrici: condizionamento e metodi numerici: potenze, potenze inverse, QR (cenni). Decomposizione ai valori singolari di matrici e sue principali applicazioni.

L’insegnameno consta di lezioni (circa 60 ore), esercitazioni in aula (circa 30 ore) e di laboratorio (circa 10 ore).

Sul portale della didattica sarà disponibile il materiale didattico preparato dai docenti contenente anche esercizi svolti e proposti. Si fornisce una lista di testi di riferimento frequentemente utilizzati. M. Ferrarotti, M. Abrate “Lezioni di Algebra Lineare”, CELID, 2018. M. Ferrarotti, M. Abrate “Lezioni di Geometria”, CELID, 2018. L. Gatto, Lezioni di Algebra lineare e Geometria, CLUT, 2018. S. Greco, P. Valabrega, Lezioni di Geometria, Vol. 1 Algebra lineare, Vol. 2 Geometria Analitica, Ed. Levrotto e Bella, Torino 2009. G. Monegato, Metodi e algoritmi per il Calcolo Numerico, CLUT, 2008. A. Quarteroni, F. Saleri, P. Gervasio, Scientific Computing with MATLAB and OCTAVE, Springer, 2014. G. Strang, Algebra Lineare, Apogeo, 2008. G. Strang, Introduction to Linear Algebra, Wellesley-Cambridge Press, 2016. E. Carlini, LAG: the written exam, CLUT 2019. E. Carlini, 50 quiz di Geometria CELID 2011. G. Casnati, M.L. Spreafico, Allenamenti di Geometria, Ed. Esculapio, Bologna 2013. J. Cordovez, Chissà chi lo sa?, CLUT 2013. L. Scuderi, Laboratorio di Calcolo Numerico, CLUT, 2005.

Modalità di esame: Test informatizzato in laboratorio; Prova scritta (in aula); Prova orale facoltativa;

Exam: Computer lab-based test; Written test; Optional oral exam;

... L’esame è volto ad accertare la conoscenza teorica degli argomenti e l’apprendimento della capacità di applicare la teoria anche in un contesto pratico. Viene inoltre accertata l’abilità acquisita dallo studente nell’individuare e applicare i metodi, numerici o teorici, più opportuni per la risoluzione di alcuni problemi di base e nell’interpretare correttamente i risultati ottenuti. L’esame riguarderà quindi gli aspetti sia teorici che applicativi dell’insegnamento e sarà effettuato tramite due test informatizzati in laboratorio, una prova scritta in aula e un'eventuale prova orale. Il primo test in laboratorio è costituito da 8 domande a risposta chiusa riguardanti gli aspetti teorici e pratici relativi all’applicazione dei metodi numerici illustrati; per risolvere la maggior parte dei quesiti è necessario usare il software MATLAB. Questa prova, della durata di 45 minuti, permette di conseguire fino a 10 punti; ogni risposta errata comporta una penalizzazione pari al 20%; non ci sono penalizzazioni per le risposte non date. Il secondo test in laboratorio è costituito da 8 domande a risposta chiusa riguardanti gli aspetti teorici e pratici dell'algebra lineare e della geometria. Questa prova, della durata di 45 minuti, permette di conseguire fino a 16 punti; ogni risposta errata comporta una penalizzazione pari al 20%; non ci sono penalizzazioni per le risposte non date. Se lo studente non ottiene più di 3 punti nel primo test e più di 6 punti nel secondo test, non viene ammesso alla prova successiva e viene respinto. La prova scritta in aula, della durata di 30 minuti, è costituita da domande a risposta aperta e permette di conseguire fino a 7 punti. Le domande a risposta aperta riguardano gli aspetti teorici e pratici dell’algebra lineare e della geometria. Se lo studente non ottiene più di 2 punti nelle domande a risposta aperta, allora viene respinto. Il docente può richiedere una prova orale (solo nel caso in cui lo studente abbia superato le soglie delle prove precedenti ed abbia conseguito un punteggio totale di almeno 18 punti) che è intesa ad accertare ulteriormente l’apprendimento della teoria, costituendo un ulteriore elemento di valutazione. Il voto finale è dato dalla somma dei punteggi conseguiti nei test informatizzati e nella prova scritta e può raggiungere il valore di 30 e lode. In caso si effettui la prova orale, il voto finale sarà stabilito tenendo conto sia del punteggio già conseguito nelle prime tre prove che dell’esito della prova orale. Durante le prove è vietato l'utilizzo di libri, appunti, dispositivi elettronici diversi dal PC del laboratorio e di altro materiale non autorizzato.

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.

Modalità di esame: Prova orale facoltativa; Prova scritta tramite PC con l'utilizzo della piattaforma di ateneo;

L’esame è volto ad accertare la conoscenza teorica degli argomenti e l’apprendimento della capacità di applicare la teoria anche in un contesto pratico. Viene inoltre accertata l’abilità acquisita dallo studente nell’individuare e applicare i metodi, numerici o teorici, più opportuni per la risoluzione di alcuni problemi di base e nell’interpretare correttamente i risultati ottenuti. L’esame riguarderà quindi gli aspetti sia teorici che applicativi dell’insegnamento e sarà effettuato tramite tre test informatizzati con domande a risposta chiusa o aperta. I test verranno svolti utilizzando la piattaforma di ateneo Exam integrata con strumenti di proctoring (Respondus). Il primo test in laboratorio è costituito da 8 domande a risposta chiusa o aperta riguardanti gli aspetti teorici e pratici relativi all’applicazione dei metodi numerici illustrati; durante l'esame non sarà possibile utilizzare il software MATLAB ma è necessario conoscerne la sintassi. Questa prova, della durata di 45 minuti, permette di conseguire fino a 10 punti; ogni risposta errata comporta una penalizzazione pari al 20%; non ci sono penalizzazioni per le risposte non date. Il secondo test in laboratorio è costituito da 8 domande a risposta chiusa o aperta riguardanti riguardanti gli aspetti teorici e pratici dell'algebra lineare e della geometria. Questa prova, della durata di 45 minuti, permette di conseguire fino a 16 punti; ogni risposta errata comporta una penalizzazione pari al 20%; non ci sono penalizzazioni per le risposte non date. Se lo studente non ottiene più di 3 punti nel primo test e più di 6 punti nel secondo test, non viene ammesso alla prova successiva e viene respinto. Il terzo test informatizzato ha la durata di 30 minuti ed è costituito da 4 domande a risposta aperta o chiusa e permette di conseguire fino a 7 punti. Le domande riguardano gli aspetti teorici e pratici dell’algebra lineare e della geometria. Se lo studente non ottiene più di 2 punti viene respinto. Il docente può richiedere una prova orale (solo nel caso in cui lo studente abbia superato le soglie delle prove precedenti ed abbia conseguito un punteggio totale di almeno 18 punti) che è intesa ad accertare ulteriormente l’apprendimento della teoria, costituendo un ulteriore elemento di valutazione. Il voto finale è dato dalla somma dei punteggi conseguiti nei test informatizzati e può raggiungere il valore di 30 e lode. In caso si effettui la prova orale, il voto finale sarà stabilito tenendo conto sia del punteggio già conseguito nelle prime due prove che dell’esito della prova orale. Durante le prove è vietato l'utilizzo di libri, appunti, dispositivi elettronici diversi da quelli consentiti e di altro materiale non autorizzato.

Modalità di esame: Test informatizzato in laboratorio; Prova scritta (in aula); Prova orale facoltativa; Prova scritta tramite PC con l'utilizzo della piattaforma di ateneo;

L’esame è volto ad accertare la conoscenza teorica degli argomenti e l’apprendimento della capacità di applicare la teoria anche in un contesto pratico. Viene inoltre accertata l’abilità acquisita dallo studente nell’individuare e applicare i metodi, numerici o teorici, più opportuni per la risoluzione di alcuni problemi di base e nell’interpretare correttamente i risultati ottenuti. L’esame riguarderà quindi gli aspetti sia teorici che applicativi dell’insegnamento e sarà effettuato tramite due test informatizzati con domande a risposta chiusa o aperta e da una prova con domande a risposta aperta da svolgersi in modo informatizzato (in remoto) ed in aula (in presenza). I test informatizzati verranno svolti utilizzando la piattaforma di ateneo Exam integrata con strumenti di proctoring (Respondus). Il primo test in laboratorio è costituito da 8 domande a risposta chiusa o aperta riguardanti gli aspetti teorici e pratici relativi all’applicazione dei metodi numerici illustrati; per risolvere la maggior parte dei quesiti è necessario usare il software MATLAB eventualmente tramite vLAIB. Questa prova, della durata di 45 minuti, permette di conseguire fino a 10 punti; ogni risposta errata comporta una penalizzazione pari al 20%; non ci sono penalizzazioni per le risposte non date. Il secondo test in laboratorio è costituito da 8 domande a risposta chiusa o aperta riguardanti gli aspetti teorici e pratici dell'algebra lineare e della geometria. Questa prova, della durata di 45 minuti, permette di conseguire fino a 16 punti; ogni risposta errata comporta una penalizzazione pari al 20%; non ci sono penalizzazioni per le risposte non date. Se lo studente non ottiene più di 3 punti nel primo test e più di 6 punti nel secondo test, non viene ammesso alla prova successiva e viene respinto. La terza prova ha la durata di 30 minuti ed è costituita da domande a risposta aperta o chiusa e permette di conseguire fino a 7 punti; in presenza la prova si svolgerà in aula in remoto la prova si svolgerà tramite la piattaforma EXAM integrata con Respondus. Le domande riguardano gli aspetti teorici e pratici dell’algebra lineare e della geometria. Se lo studente non ottiene più di 2 punti viene respinto. Il docente può richiedere una prova orale (solo nel caso in cui lo studente abbia superato le soglie delle prove precedenti ed abbia conseguito un punteggio totale di almeno 18 punti) che è intesa ad accertare ulteriormente l’apprendimento della teoria, costituendo un ulteriore elemento di valutazione. Il voto finale è dato dalla somma dei punteggi conseguiti ne test informatizzati e nella prova scritta e può raggiungere il valore di 30 e lode. In caso si effettui la prova orale, il voto finale sarà stabilito tenendo conto sia del punteggio già conseguito nelle prime due prove che dell’esito della prova orale. Durante le prove è vietato l'utilizzo di libri, appunti, dispositivi elettronici diversi da quelli consentiti e di altro materiale non autorizzato.