Il corso si pone come una cerniera tra le materie di base dei primi tre semestri (matematica e fisica) e le materie applicative e progettuali dei semestri successivi. Nel corso vengono presentati i principi teorici fondamentali che consentono di analizzare il comportamento meccanico dei solidi elastici ed in particolare quello dei sistemi di travi. Il percorso formativo sviluppa quindi i temi di base della meccanica dei solidi elastici, partendo dalla definizione dei concetti di azione, vincolo, elemento strutturale, tensione e deformazione, per arrivare alle verifiche di resistenza e deformabilità delle strutture. Vengono presentate le equazioni di equilibrio, di congruenza e del legame costitutivo, necessarie per lo studio del solido elastico tridimensionale e la sua particolarizzazione ai corpi monodimensionali. Si affronta quindi lo studio delle strutture iperstatiche mediante l’impiego di vari metodi, e il problema dell’instabilità dell’equilibrio.

Oltre a conoscere ed aver compreso i concetti teorici, l’allievo dovrà essere in grado di applicarli ai problemi proposti. Con riferimento ai sistemi isostatici ed iperstatici di travi nel piano, l’allievo dovrà essere in grado di determinare le reazioni vincolari e di tracciare i diagrammi di sollecitazione e la linea elastica; di calcolare le tensioni nelle travi sulla base del principio di Saint Venant; di effettuare le verifiche di deformabilità e resistenza; di verificare l'instabilità dell'equilibrio delle aste caricate di punta.

Conoscenza dei contenuti dei corsi di Matematica (studio di funzioni e calcolo di derivate e integrali, calcolo matriciale e problemi agli autovalori/autovettori), Geometria (concetti basilari di geometria analitica) e Fisica (concetti basilari di cinematica e statica del corpo rigido).

Introduzione al corso - ore: 1 Presentazione del corso, riferimenti bibliografici, regole e modalità d'esame. Inquadramento generale del problema strutturale - ore: 2 Introduzione agli aspetti cinematici: struttura labile e struttura fissa. Introduzione agli aspetti statici: ipostaticità, isostaticità, iperstaticità. Definizione del modello del problema strutturale: elementi e tipologie strutturali, sezioni, materiali, carichi, vincoli. Risposta strutturale: concetto di equilibrio, reazioni vincolari, deformabilità strutturale e meccanismi di collasso. Cenni sulla modellazione numerica. Schematizzazione del problema strutturale nei sotto-problemi fondamentali. Riferimenti al testo: Cap. 1. Geometria delle aree - ore: 2 Definizione delle proprietà geometriche e loro determinazione: baricentro, momento statico, momento d'inerzia e centrifugo, nocciolo centrale d'inerzia, direzioni e momenti principali di inerzia. Leggi di trasformazione, effetti dovuti a presenza di simmetrie. Riferimenti al testo: Cap. 2. Cinematica e statica dei sistemi di travi - ore: 4 Gradi di libertà di un corpo rigido. Vincoli elementari esterni ed interni: rappresentazione grafica e aspetti cinematici connessi. Classificazione delle strutture mediante analisi cinematica: 1° e 2° teorema delle catene cinematiche. Equazioni cardinali della statica. Definizione statica dei vincoli piani, schema riassuntivo per l'analisi statica e cinematica. Riferimenti al testo: Par. 3.1, 3.2, 3.4-3.6, 3.8. Calcolo delle reazioni vincolari per strutture isostatiche - ore: 3 Metodo generale, metodo delle equazioni ausiliarie. Calcolo delle reazioni vincolari mediante il Principio dei Lavori Virtuali (PLV). Metodi grafici: poligono delle forze e poligono funicolare. Riferimenti al testo: Cap. 4.1-4.3. Caratteristiche della sollecitazione nelle travi - ore: 6 Definizione di Sforzo Normale, Momento, Taglio (M, N, T). L'equilibrio di un tronco infinitesimo di trave: equazioni differenziali per M, N, T. Convenzioni per il tracciamento dei diagrammi di sollecitazione. Applicazione del PLV al calcolo delle sollecitazioni in una sezione. Primi esempi di tracciamento dei diagrammi di sollecitazione Riferimenti al testo: Cap. 5. Strutture isostatiche e reticolari - ore: 3 Caratteristiche fondamentali. Travi Gerber. Travi reticolari isostatiche: metodo dell'equilibrio dei nodi, metodo delle sezioni di Ritter. Riferimenti al testo: Par. 6.1-6.3. Analisi della deformazione - ore: 4 Concetto di 'campo', matrice jacobiana, matrice di rotazione, matrice di deformazione. Il tensore di deformazione: dilatazioni e scorrimenti. Cambio di base del tensore di deformazione, direzioni principali, invarianti di deformazione, dilatazione cubica, equazioni di compatibilità. Riferimenti al testo: Par. 7.1-7.5. Analisi della tensione - ore: 4 Concetto di sforzo, il tensore degli sforzi. Il tetraedro di Cauchy, reciprocità, tensioni tangenziali. Cambio di base del tensore di tensione, direzioni principali, invarianti di tensione, tensione idrostatica e tensione deviatorica. Cerchi di Mohr, particolarizzazione allo stato piano di tensione. Riferimenti al testo: Par. 7.6-7.9. Il solido elastico - ore: 5 Equazioni indefinite dell'equilibrio, dualità statico-cinematica. Un esempio di problema elastico. Il Principio dei Lavori Virtuali (PLV). Corpo elastico lineare omogeneo isotropo. Potenziale elastico, potenziale elastico complementare. Sviluppo del potenziale in serie di Taylor, legge di Hooke. Teoremi di Kirchhoff, Betti, Clapeyron. Isotropia, costruzione del legame elastico a partire dal potenziale elastico complementare. Limiti e significato fisico delle costanti elastiche. Riferimenti al testo: Par. 8.1-8.9. Criteri di resistenza dei materiali - ore: 3 Impostazione generale, criteri di Rankine, Tresca, Mohr-Coulomb, Von Mises. Riferimenti al testo: Par. 8.10, 8.11. Il problema di De Saint Venant - ore: 9 Introduzione, ipotesi, sollecitazioni fondamentali e composte. Sforzo normale, flessione retta. Torsione in sezione cilindrica a sezione piena, cava, in parete spessa; torsione in sezione generica; torsione nelle sezioni sottili aperte e chiuse. Rapporti di rigidezza fra sezioni aperte e sezioni chiuse; centro di torsione; centro di taglio. Taglio retto, fattore di taglio. Sollecitazioni composte: sforzo normale eccentrico, flessione deviata, nocciolo d'inerzia; taglio deviato. Riferimenti al testo: Cap. 9. Teoria tecnica della trave - ore: 3 Il problema della trave elastica rettilinea espresso in forma matriciale. La linea elastica: effetti del momento e del taglio. Rotazioni e spostamenti notevoli. Composizione di rotazioni e spostamenti. Riferimenti al testo: Par. 10.1, 10.2, 10.4-10.6. Simmetria e antimetria assiale - ore: 1 Inquadramento, vantaggi, determinazione delle condizioni di vincolo in mezzeria. Riferimenti al testo: Par. 12.1-12.3. Soluzione di strutture iperstatiche - ore: 6 Basi teoriche e modalità esecutive del metodo delle forze per la soluzione di problemi iperstatici.. Distorsioni termiche. Riferimenti al testo: Par. 13.1-13.3, 13.6. Instabilità dell'equilibrio - ore: 4 Introduzione e concetti generali. Sistemi discreti ad un grado di libertà e a più gradi di libertà; comportamento post-critico. Sistemi ad elasticità diffusa. L'asta caricata di punta: carico critico di Eulero, lunghezza libera di inflessione, snellezza. Riferimenti al testo: Par. 17.1-17.5. Argomenti delle esercitazioni - ore 20 • Geometria delle aree; • Classificazione delle strutture mediante analisi cinematica; • Studio degli atti di moto rigido delle catene cinematiche; • Determinazione delle reazioni vincolari mediante le equazioni cardinali della statica, il metodo delle equazioni ausiliarie e il PLV; • Tracciamento dei diagrammi di sollecitazione; • Travi Gerber e strutture reticolari; • Analisi della deformazione e della tensione. Applicazioni dei cerchi di Mohr; • Verifica delle sezioni per i vari casi del De Saint Venant; • Deformabilità delle strutture mediante integrazione della linea elastica - casi notevoli e casi generali; • Semplificazioni mediante utilizzo della simmetria/antimetria; • Risoluzione di strutture iperstatiche; • Instabilità dell'equilibrio per sistemi discreti e sistemi continui. Nota Eventuali piccole variazioni relativamente alle tempistiche e ai contenuti saranno possibili per venire incontro a specifiche esigenze didattiche.

Le esercitazioni si svolgeranno in aula: verranno affrontati problemi strutturali in cui applicare i risultati della teoria. Sono previste esercitazioni pratiche presso un laboratorio didattico di strutture con possibilità di realizzare strutture modello, applicare carichi e misurare gli spostamenti indotti. E’ prevista una visita di laboratorio per assistere all’esecuzione di prove meccaniche per la determinazione della resistenza dei materiali.

Teoria ed esercizi Carpinteri, A. (1995) Scienza delle Costruzioni, vol. 1, Bologna, Pitagora Editrice. Carpinteri, A. (1992) Scienza delle Costruzioni, vol. 2, Bologna, Pitagora Editrice. Materiale didattico interattivo sul sito http://sac.polito.it/moodle. Testi di consultazione - esercizi I testi di seguito elencati sono disponibili nella biblioteca di Ateneo. Bertero, M., Grasso S. (1970) Esercizi di Scienza delle Costruzioni, Torino, Levrotto e Bella. Viola, E. (1993) Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni, Vol. 1,- Strutture isostatiche e geometria delle masse, Bologna, Pitagora Editrice. Viola, E. (1985) Esercitazioni di Scienza delle Costruzioni, Vol. 2,- Strutture iperstatiche e verifiche di resistenza, Bologna, Pitagora Editrice. Testi di consultazione - teoria/esercizi I testi di seguito elencati sono disponibili nella biblioteca di Ateneo. Capurso, M. (1995) Lezioni di Scienza delle Costruzioni, Bologna, Pitagora Editrice. Belluzzi, O. (1966) Scienza delle Costruzioni, vol. 1 e 2, Bologna, Zanichelli. Di Tommaso, A. (1995) Fondamenti di Scienza delle Costruzioni, vol. 1, Bologna, Pàtron Editore. Di Tommaso, A. (2006) Fondamenti di Scienza delle Costruzioni, vol. 2 e 3, Bologna, Pàtron Editore. Viola, E. (1990) Scienza delle Costruzioni ,Vol. 1 - Teoria dell'elasticità, Bologna, Pitagora Editrice. Viola, E. (19923) Scienza delle Costruzioni, Vol. 3 - Teoria della trave, Bologna, Pitagora Editrice.

Modalità di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale obbligatoria;

Exam: Written test; Compulsory oral exam;

... L’esame consta di una prova scritta ed una orale. La prova scritta ha lo scopo di valutare la capacità dello studente di applicare le tecniche di analisi viste a lezione ed esercitazione. Nella prova scritta (il tempo disponibile è di 2,5 ore) si richiede di risolvere una travatura isostatica ed una iperstatica. Durante lo scritto non è possibile consultare testi o appunti. La sufficienza allo scritto costituisce condizione necessaria per accedere all’orale. La prova orale consta, a seconda della loro complessità, di 2-4 domande. Le domande possono riguardare aspetti di tipo applicativo (eventualmente connessi all'esito della prova scritta), e aspetti di tipo teorico connessi a tutti gli argomenti del corso. Per quanto riguarda sia le domande di natura applicativa che quelle di natura teorica, l'aspetto principale che lo studente è chiamato ad evidenziare, più che la riproduzione certosina delle varie formulazioni matematiche, riguarda la chiara comprensione del fenomeno fisico in questione e la relativa impostazione di base della formulazione matematica utilizzata per la sua rappresentazione. Il voto finale è la media pesata del punteggio ottenuto allo scritto, e di quello ottenuto all'orale (quest'ultimo pesato con coefficiente pari a 1.2). Il peso al voto dell'orale, giustificato dall'importanza relativa delle due prove, consente quindi di ottenere il punteggio massimo a fronte di un orale con punteggio massimo e uno scritto con punteggio pari ad almeno 25/30. Per l'insegnamento del prof. Invernizzi all'esame è possibile presentare una o due relazioni relative ad attività proposte durante il corso (esercitazione pratica, calcolo di una struttura complessa) il cui punteggio (0-2 punti) incrementa il voto finale d’esame.

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.

Modalità di esame: Prova orale facoltativa; Prova scritta su carta con videosorveglianza dei docenti; Prova scritta tramite PC con l'utilizzo della piattaforma di ateneo;

Prova scritta (soluzione di esercizi) con videosorveglianza dei docenti; Test (domande prevalentemente di teoria) a risposta aperta o chiusa, tramite PC, con l'utilizzo della piattaforma di Ateneo Exam integrata con strumenti di proctoring (Respondus); Colloquio (facoltativo), tramite virtual classroom o altre modalità (Skype, Teams, Zoom…). L’esame consta di una prova scritta e un test a risposte chiuse e aperte. Lo studente che consegue la sufficienza ha facoltà di sostenere una piccola prova orale integrativa che consente un miglioramento (max 2 punti) del voto finale. - La prova scritta ha lo scopo di valutare la capacità dello studente di applicare le tecniche di analisi viste a lezione ed esercitazione. Nella prova scritta (il tempo disponibile è di 2 ore e 20 minuti) si richiede di risolvere una travatura isostatica ed una iperstatica. Durante lo scritto non è possibile consultare testi o appunti; è possibile consultare unicamente il formulario per l’esame (raccolta di casi notevoli disponibile sito web del corso). Un voto pari a 15/30 costituisce condizione necessaria per accedere al test. - Il test è composto di quesiti a risposta multipla chiusa, e quesiti a risposta aperta di tipo numerico. Le domande possono riguardare aspetti di tipo applicativo (eventualmente connessi all'esito della prova scritta), e aspetti di tipo teorico connessi a tutti gli argomenti del corso. Per quanto riguarda sia le domande di natura applicativa che quelle di natura teorica, l'aspetto principale che lo studente è chiamato ad evidenziare riguarda la chiara comprensione del fenomeno fisico in questione e la relativa impostazione di base della formulazione matematica utilizzata per la sua rappresentazione. Un voto pari a 18/30 costituisce condizione necessaria per il superamento del test. - La prova orale facoltativa (consigliata) è costituita da una domanda relativa ai contenuti teorici del corso. Per accedere alla prova bisogna contattare il docente via mail per concordare modalità e orari. Il voto finale è la media pesata del punteggio in trentesimi ottenuto alla prova scritta e di quello in trentesimi ottenuto al test (quest'ultimo pesato con coefficiente pari a 1.2). Al punteggio così conseguito va eventualmente aggiunto il punteggio conseguito con la prova orale facoltativa (max 2 punti). Il voto della prova scritta, come pure il voto finale, può essere rifiutato. Il rifiuto del voto della prova scritta permette l’accesso alle prove scritte successive. Il rifiuto del voto finale comporta il rifacimento dell’esame. Le prove scritte di giugno-luglio permettono l’accesso ai test di giugno-luglio e settembre. Le prove scritte di settembre e febbraio consentono l’accesso esclusivamente al test corrispondente.

Modalità di esame: Prova orale facoltativa; Prova scritta su carta con videosorveglianza dei docenti; Prova scritta tramite PC con l'utilizzo della piattaforma di ateneo;

Prova scritta (soluzione di esercizi) con in aula oppure con videosorveglianza dei docenti; Test (domande prevalentemente di teoria) a risposta aperta o chiusa, tramite PC, con l'utilizzo della piattaforma di Ateneo Exam integrata con strumenti di proctoring (Respondus); Colloquio (facoltativo), in aula oppure tramite virtual classroom o altre modalità (Skype, Teams, Zoom…). L’esame consta di una prova scritta e un test a risposte chiuse e aperte. Lo studente che consegue la sufficienza ha facoltà di sostenere una piccola prova orale integrativa che consente un miglioramento (max 2 punti) del voto finale. - La prova scritta ha lo scopo di valutare la capacità dello studente di applicare le tecniche di analisi viste a lezione ed esercitazione. Nella prova scritta (il tempo disponibile è di 2 ore e 20 minuti) si richiede di risolvere una travatura isostatica ed una iperstatica. Durante lo scritto non è possibile consultare testi o appunti; è possibile consultare unicamente il formulario per l’esame (raccolta di casi notevoli disponibile sito web del corso). Un voto pari a 15/30 costituisce condizione necessaria per accedere al test. - Il test è composto di quesiti a risposta multipla chiusa, e quesiti a risposta aperta di tipo numerico. Le domande possono riguardare aspetti di tipo applicativo (eventualmente connessi all'esito della prova scritta), e aspetti di tipo teorico connessi a tutti gli argomenti del corso. Per quanto riguarda sia le domande di natura applicativa che quelle di natura teorica, l'aspetto principale che lo studente è chiamato ad evidenziare riguarda la chiara comprensione del fenomeno fisico in questione e la relativa impostazione di base della formulazione matematica utilizzata per la sua rappresentazione. Un voto pari a 18/30 costituisce condizione necessaria per il superamento del test. - La prova orale facoltativa (consigliata) è costituita da una domanda relativa ai contenuti teorici del corso. Per accedere alla prova bisogna contattare il docente via mail per concordare modalità e orari. Il voto finale è la media pesata del punteggio in trentesimi ottenuto alla prova scritta e di quello in trentesimi ottenuto al test (quest'ultimo pesato con coefficiente pari a 1.2). Al punteggio così conseguito va eventualmente aggiunto il punteggio conseguito con la prova orale facoltativa (max 2 punti). Il voto della prova scritta, come pure il voto finale, può essere rifiutato. Il rifiuto del voto della prova scritta permette l’accesso alle prove scritte successive. Il rifiuto del voto finale comporta il rifacimento dell’esame. Le prove scritte di giugno-luglio permettono l’accesso ai test di giugno-luglio e settembre. Le prove scritte di settembre e febbraio consentono l’accesso esclusivamente al test corrispondente.