Scopo del corso è fornire conoscenze di matematica applicata e di metodologie di costruzione e valutazione di modelli matematici applicati ai processi biologi, fisiologici e patologici. Una parte importante è dedicata allo studio dell'intero ciclo di modellizzazione di fenomeni in ambito biomedico, partendo dalla formulazione dei modelli per arrivare, attraverso la corretta formulazione di problemi differenziali, alla soluzione quantitativa ottenuta tramite opportuni metodi matematici e programmi di calcolo numerico (Matlab e Comsol Multiphysics). Inoltre, verranno introdotti alcuni concetti fondamentali per l’interpretazione di dati sperimentali e la deduzione di conclusioni con valenza statistica. Dal punto di vista didattico si intende quindi rivoltare l'abituale sequenza teoria-applicazioni, facendo emergere la necessità dell'utilizzo di metodi matematici, numerici e statistici dall'esigenza del problema di interesse specifico. Coerentemente con questa attitudine, il rapporto tra lezioni teoriche, esercitazioni e laboratori informatici sarà sostanzialmente paritetico (ossia circa 36 ore di teoria, 12 ore di esercitazioni e 12 ore in laboratorio).

Lo studente guadagnerà le seguenti competenze • Sviluppare e valutare i modelli matematici relativi a diversi fenomeni biologici e medici; • Utilizzare i metodi di integrazione analitica e numerica di equazioni differenziali ordinarie e di sistemi di equazioni differenziali ordinarie; • Identificare le configurazioni di equilibrio e le proprietà di stabilità degli stessi, riportandole in opportuni diagrammi di biforcazione; • Riconoscere le caratteristiche qualitative delle soluzioni delle equazioni alle derivate parziali; • Utilizzare gli strumenti della statistica descrittiva per rappresentare ed interpretare i dati sperimentali; • Utilizzare gli strumenti della statistica inferenziale per estrapolare informazioni relative a popolazioni e processi biologici partendo dai dati sperimentali; • Utilizzare il software scientifico Matlab per la soluzione di sistemi di equazioni differenziali e per l’esecuzione di test statistici; • Utilizzare il software scientifico Comsol Multiphysics per la soluzione di modelli biologici complessi; • Presentare in un elaborato scientifico i risultati numerici e/o analitici relativi ad un particolare problema biologico (a scelta dello studente)

Analisi I, Analisi II, Algebra lineare e geometria.

• Il ciclo della modellizzazione matematica. Cosa vuol dire dedurre un modello matematico in biomedicina. Modelli di crescita. Dinamica delle popolazioni. Crescita tumorale. Soluzione di equazioni differenziali del prim'ordine lineari e non lineari. Soluzione di equazioni differenziali lineari del secondo ordine. Problemi ai valori iniziali. Concetto di equilibrio e stabilità. Programmi scientifici per l'integrazione di equazioni differenziali (metodi di Eulero esplicito ed implicito, metodo di Runge-Kutta). • Interpretazione di dati sperimentali e definizione di trial clinici. Statistica descrittiva. Introduzione alla statistica inferenziale (distribuzioni importanti, stima di parametri, intervalli di confidenza, test di ipotesi). Trattazione di problemi caratterizzati da incertezze nel dato iniziale o nei parametri. Analisi statistica dei dati. • Modelli epidemiologici. Modelli di farmacocinetica/farmacodinamica. Modelli di reazioni chimiche. Sistemi di equazioni differenziali. Analisi di stabilità di un sistema di equazioni differenziali. Diagrammi di biforcazione: biforcazione a forchetta, supercritica e subcritica, Turning points e cicli di isteresi. Programmi scientifici per l'integrazione di sistemi di equazioni differenziali e di problemi stiff. Fitting dei dati. Applicazione di metodi statistici. • Processi di diffusione lineare e non lineare in biologia. Omeostasi cellulare (elettrodiffusione). Equazioni paraboliche. Soluzioni fondamentali. Metodo di Fourier per la risoluzione di PDE a variabili separabili. Metodo delle differenze finite. Cenni ai metodi degli elementi finiti. Equazioni ellittiche. Problemi al contorno. Cenni a metodi di risoluzione analitica e numerica. • Modelli di Lotka-Volterra per descrivere la competizione tra specie cellulari e popolazioni. Modellizzazione della propagazione di segnali nervosi (modelli di Hodgkin-Huxley e FitzHugh-Nagumo). Cicli limite. Biforcazione di Hopf. Stabilità di cicli limite: generazione soft ed hard di cicli limite. • Diffusione di sostanze chimiche e popolazioni cellulari attraverso un’interfaccia. Sistema respiratorio. Modelli per dialisi. Migrazione di cellule attraverso membrane sottili. Interfacciamento di domini. Soluzioni discontinue. Level-set method. • Equazione del trasporto. Sedimentazione di particelle. Equazione di bilancio di massa e applicazioni ai modelli tumorali. Chemotassi ed equazione di Keller-Segel. Caratteristiche fisiche della soluzione di un'equazione del trasporto. Metodo delle caratteristiche.

Alcune lezioni sono comuni al corso di Modelli Matematici per la Biomedicina (titolare: Prof.ssa C. Giverso)

Il corso si articola in: - lezioni teoriche (circa 60%); - esercitazioni con risoluzione guidata di problemi inerenti gli argomenti del corso con software commerciali (circa 20%); - esercitazioni a squadre separate sui temi da sviluppare nell’elaborato progettuale (circa 20%).

Testo principale L. Mesin, Mathematical Models for biomedicine, ilmiolibro self publishing 2017 Testi di approfondimento J. P. Keener and J. Sneyd, Mathematical Physiology, Springer, 1998. R. Barr and R.L. Plonsey; Bioelectricity: A Quantitative Approach. Plenum press, 1988. N. Bellomo, L. Preziosi, "Mathematical Modelling, Methods and Scientific Computation", CRC Press J.D. Murray, Mathematical Biology I, An Introduction, Springer, 2002. J.D. Murray, Mathematical Biology II, Spatial Models and Biomedical Applications, Springer, 2002 S.J. Farlow, “Partial differential equations for scientists and engineers”, Dover S.M. Ross, “Probabilità e statistica per l’ingegneria e le scienze”, Apogeo Verranno inoltre forniti articoli scientifici da cui prendere spunto per la preparazione delle tesine.

Modalità di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale obbligatoria; Elaborato progettuale in gruppo;

Exam: Written test; Compulsory oral exam; Group project;

... L'esame consiste in - una prova scritta con due domande aperte sulle caratteristiche generali dei modelli matematici presentati durante le lezioni al fine di valutare le conoscenze apprese durante il corso; la durata della prova è un'ora; sarà possibile consultare brevemente il libro di testo, di cui una copia sarà messa a disposizione dai docenti (ad esempio, per controllare un dettaglio su una formula matematica), ma non sarà concesso utilizzare materiale aggiuntivo come appunti o altri libri; - un elaborato di carattere applicativo che usi le metodologie esposte nelle lezioni per lo sviluppo e lo studio analitico e/o numerico di specifici modelli matematici su tematica scelta dallo studente tra quelle proposte. L'elaborato dovrà essere ben documentato e difeso tramite presentazione orale. La prova orale inerente la teoria è individuale, l’elaborato può essere svolto individualmente o in gruppi di due-tre persone. L’elaborato scritto unitamente ai programmi utilizzati devono essere consegnati un paio di giorni prima della presentazione e della discussione del lavoro svolto. La presentazione e la difesa dei contenuti del lavoro svolto non potranno durare più di 15 minuti per gruppo. Considerando sempre la varietà di applicazioni biomediche, di massima la struttura dell'elaborato dovrà essere composta come riportato qui di seguito. Parte I: Introduzione 1- Introduzione generale al problema (1 pagina) 2- Osservazione fenomenologica, esigenza biomedica e relativa domanda (1 pagina) 3- Modelli in letteratura (1 pagina) Parte II: Metodi 4- Deduzione del modello matematico (3 pagine) Parte III: Risultati 5- Simulazioni numeriche (5 pagine) 6- Quadro riassuntivo delle simulazioni numeriche (3 pagine) 7- Discussione dei risultati e risposta suggerita dal modello matematico (max 1 pagina) Il risultato finale verrà così identificato - 50% per la qualità dell’elaborato - 25% per la qualità della presentazione e la difesa dei contenuti del lavoro svolto - 25% per la prova orale inerente gli argomenti del programma.

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.