L’insegnamento ha lo scopo di illustrare e analizzare i metodi numerici di base e le loro caratteristiche (condizioni di applicabilità, efficienza sia in termini di complessità computazionale sia di occupazione di memoria) e di far acquisire agli studenti le competenze necessarie per risolvere problemi di calcolo numerico utilizzando o costruendo, in particolare, programmi in ambiente Matlab.

Gli studenti, che avranno seguito con profitto questo insegnamento, saranno in grado di risolvere numericamente i seguenti problemi: risoluzione di sistemi lineari algebrici sparsi e di grandi dimensioni, approssimazione polinomiale algebrica, integrazione numerica, risoluzione di sistemi non lineari, risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie con condizioni iniziali o ai limiti. In particolare, per la risoluzione di questi problemi gli studenti utilizzeranno i metodi numerici di base appresi, implementati nativamente o personalmente in ambiente Matlab e, in base alla conoscenza delle proprietà dei metodi, saranno in grado di fornire un’analisi critica dei risultati ottenuti. Gli studenti acquisiranno inoltre le competenze necessarie per identificare e adottare il metodo più efficiente tra quelli a loro disposizione, al fine di ottenere la soluzione del problema numerico più accurata possibile al minimo costo computazionale.

Si richiede una buona conoscenza degli argomenti trattati negli insegnamenti di Algebra Lineare e Geometria e di Analisi Matematica I e II, e la conoscenza dei principali costrutti sintattici di programmazione e del software Matlab.

Durante le lezioni in aula (50 ore) verranno trattati i seguenti argomenti, con il relativo peso in ore. 1. Sistemi lineari (11 ore). Brevi richiami sui metodi diretti e sulle fattorizzazioni di una matrice. Metodi iterativi (costruzione e risultati di convergenza): Jacobi, Gauss-Seidel, SOR, gradiente e gradiente coniugato. Precondizionamento. 2. Approfondimenti sull’approssimazione di funzioni (9 ore). Interpolazione polinomiale di funzioni di una sola variabile reale. Rappresentazione di Lagrange, scelta dei nodi di interpolazione e studio della convergenza. Rappresentazione di Newton alle differenze divise. Interpolazione con funzioni polinomiali a tratti: definizione e studio della convergenza. Cenni sull’interpolazione di funzioni di due variabili reali. Derivazione numerica. 3. Equazioni non lineari (6 ore). Radici di equazioni non lineari: metodi delle secanti e delle tangenti, metodo del punto fisso; costruzione e risultati di convergenza. Sistemi di equazioni non lineari: metodo di Newton e sue varianti, metodo del punto fisso. 4. Calcolo di integrali definiti su intervalli e applicazioni (10 ore). Formule di quadratura di tipo interpolatorio in generale, formule di Newton-Cotes, polinomi ortogonali e formule Gaussiane. Analisi della convergenza. Formule composte: definizione e proprietà di convergenza. Cenni sul calcolo degli integrali curvilinei e multipli. 5. Equazioni differenziali ordinarie - Problemi a valori iniziali (14 ore). Riduzione del generico problema alla forma canonica. Alcuni risultati teorici di esistenza e unicità delle soluzioni. Metodi one-step espliciti e impliciti in generale: definizione, consistenza e convergenza. Metodi Runge-Kutta. Metodi multistep lineari espliciti e impliciti: definizione, consistenza e convergenza. Metodi di Adams. Stabilità assoluta dei metodi numerici. Sistemi stiff e metodi numerici per la loro risoluzione. Cenni sui metodi alle differenze finite per problemi con valori ai limiti.

L’insegnamento consta di 50 ore di lezioni in aula, 15 ore di esercitazione in aula e 15 ore di esercitazioni in laboratorio informatico. Durante le lezioni in aula verranno descritti i principali metodi numerici e le loro caratteristiche. Durante le esercitazioni in aula verranno sottolineati, con esempi, aspetti particolarmente importanti degli argomenti trattati nelle lezioni e svolti esercizi che contribuiranno a una migliore comprensione della teoria e costruiti algoritmi di calcolo. Questi ultimi verranno implementati in ambiente Matlab durante le esercitazioni in laboratorio e applicati a problemi numerici test. Tale attività consentirà la verifica sperimentale delle proprietà dei metodi numerici esaminati e il contemporaneo addestramento degli studenti all’utilizzo del software Matlab nell’ambito della simulazione numerica. Alcune esercitazioni saranno di carattere interdisciplinare e concordate con altri docenti del corso di Laurea.

G. Monegato, Metodi e algoritmi per il Calcolo Numerico, CLUT, Torino, 2008. L. Scuderi, Laboratorio di calcolo numerico, CLUT, Torino, 2005. Ulteriore materiale didattico (problemi di carattere applicativo, esercizi e tracce di svolgimento) sarà disponibile sul portale della didattica.

Modalità di esame: Test informatizzato in laboratorio; Prova scritta (in aula);

Exam: Computer lab-based test; Written test;

... L'esame è composto da due prove: un test informatizzato della durata indicativamente di 45 minuti e una prova scritta della durata di 1 ora e 45 minuti. Il test si svolge in un laboratorio didattico ed è costituito da 4 domande a risposta multipla, in cui si richiede l’uso del software Matlab per risolvere problemi numerici della tipologia di quelli affrontati a lezione e/o a esercitazione. I punteggi massimi attribuiti alle singole domande vengono riportati nel testo della prova. Al test viene complessivamente assegnato un punteggio massimo di 6 punti. La prova scritta viene svolta successivamente al test in un'aula ed è composta da 5 domande di tipo aperto, a ciascuna delle quali viene attribuito un punteggio massimo riportato nel testo d’esame, per un totale di 24 punti. Le domande includono definizioni, costruzione, proprietà e applicazione dei singoli metodi numerici, nonché dimostrazioni di risultati teorici. Durante le prove non è consentito utilizzare appunti, testi e strumenti elettronici, ad eccezione del PC in uso per il collegamento alle piattaforme di ateneo. L’esame si intende superato se lo studente ottiene una votazione complessiva non inferiore a 18/30. In caso di mancato superamento, lo studente deve sostenere nuovamente l’esame con entrambe le prove. I risultati degli esami vengono comunicati ai singoli studenti mediante il portale della didattica, insieme a una data e a un orario di incontro per eventuali richieste di chiarimenti.

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.