Obiettivo dell’insegnamento è di fornire le conoscenze di matematica applicata atte alla costruzione di un modello matematico differenziale e al suo studio attraverso opportuni metodi matematici. L’insegnamento è un raccordo naturale tra i corsi di matematica di base e i corsi applicativi con fondamento matematico delle lauree specialistiche. La modellistica matematica ha lo scopo di rendere intellegibile, attraverso il rigore del formalismo matematico, la realtà fisica o uno o più fenomeni. I modelli sono sviluppati con esempi specifici e applicazioni in vari campi dell’ingegneria quali ad esempio, aerospaziale (instabilità di fluttering), ambientale (diffusione di un inquinante), biomedica e bioingegneria (dinamica delle popolazioni), civile (traffico veicolare, conduzione del calore), comunicazione ed elettronica (sistemi dinamici di circuiti elettrici, propagazione di un segnale ed equazioni di trasporto), fisica (modelli per sistemi complessi). I metodi matematici permettono di ricavare le soluzioni o effettuare una analisi qualitativa di questi modelli evidenziando così le proprietà, i comportamenti emergenti e i fenomeni previsti.

Lo studente dovrà aver compreso gli argomenti trattati ed essere in grado di analizzare qualitativamente modelli differenziali. Lo studente dovrà aver acquisito capacità di riconoscere ed utilizzare adeguati strumenti matematici nelle discipline ingegneristiche e fisico-matematiche.

Analisi I e II.

Modelli matematici alle derivate ordinarie. (30 ore) - Modellistica matematica, scale di rappresentazione, classificazione ed esempi. - Metodi risolutivi per problemi differenziali lineari. - Trasformata di Laplace e applicazioni alle equazioni e ai sistemi di equazioni differenziali lineari del II° ordine a coefficienti costanti. - Sistemi non lineari. Spazio delle fasi. Configurazioni di equilibrio. Stabilità. Criterio di stabilità lineare. Stabilità nonlineare e funzionali di Liapunov. - Diagrammi di biforcazione. Biforcazione a forchetta, supercritica e subcritica. - Esempi e applicazioni (e.g. modello di Malthus e logistico per la dinamica delle popolazioni, circuiti elettrici RCL e oscillatore di Van der Pol). Modelli matematici alle derivate parziali (30 ore). - Classificazione dei modelli matematici alle derivate parziali. - Equazione di diffusione, derivazione e proprietà della soluzione. Problemi al valore iniziale e al contorno. Metodi risolutivi per problemi lineari e metodo di separazione delle variabili. Esempi e applicazioni (e.g. diffusione inquinante, conduzione del calore). Cenni di equazioni di reazione-diffusione. - Problema stazionario. Equazione di Laplace e equazioni ellittiche (profilo membrana o tamburo). - Equazione del trasporto e del bilancio di massa. Problemi ai valori iniziali e al contorno per equazioni del trasporto lineari del primo ordine. Metodo delle caratteristiche e proprietà della soluzione. - Equazioni di trasporto nonlineari. Esempi ed applicazioni (e.g. traffico veicolare, propagazione segnali). Cenni di equazioni di convezione-diffusione. - Equazione delle onde. Problemi a valori iniziali e al contorno per equazioni iperboliche del secondo ordine. Proprietà della soluzione. Soluzione fondamentale di d’Alambert. Esempi ed applicazioni in domini limitati (e.g. corda vibrante, vibrazione trave).

L'insegnamento consiste di 40 ore di lezione e 20 di esercitazione. Le lezioni sono dedicate alla presentazione degli argomenti del programma del corso e per fornire gli strumenti necessari per sviluppare capacità di ragionamento logico-deduttivo da parte dello studente. Ogni argomento teorico trattato nelle lezioni viene arricchito da esempi introduttivi. Le ore di esercitazione sono dedicate allo svolgimento di esercizi, problemi applicativi e temi d’esame sui seguenti argomenti: Trasformata di Laplace e soluzione di equazioni differenziali lineari Stabilità e biforcazione di sistemi dinamici Metodo di separazione delle variabili per equazioni paraboliche ed iperboliche Metodo delle caratteristiche per equazioni del trasporto Soluzione problemi stazionari L'organizzazione dell'insegnamento e' lo stessa in caso di erogazione in aula o remoto o modalità mista (da remoto e in presenza) in funzione dell'evoluzione dell'emergenza sanitaria. Le lezioni, se svolte in aula, sono anche trasmesse in diretta streaming sulla virtual classroom e gli appunti proiettati e le registrazioni rese disponibili sul portale della didattica.

Appunti delle lezioni caricati progressivamente sul portale della didattica. Ulteriori approfondimenti facoltativi: D. Bazzanella, P. Boieri, L. Caire, A. Tabacco, Serie di funzioni e trasformate - teoria ed esercizi, CLUT, 2001 S. Salsa, C. Pagani, Analisi matematica 2, Zanichelli S. J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Dover (New York). S. Salsa, F. Vegni, A. Zaretti, P. Zunino, Invito alle Equazioni a Derivate Parziali, Springer Italia, 2009.

Modalità di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale facoltativa;

Exam: Written test; Optional oral exam;

... L’esame consiste in una prova scritta. Qualora lo studente abbia superato lo scritto con un punteggio non inferiore a 18, può sostenere l’orale per cercare di migliorare il punteggio finale dell’esame. L’esame scritto consiste nello svolgimento di 4 esercizi, a risposta aperta, per verificare la capacità di applicare metodi e le tecniche apprese per l’analisi qualitativa e la risoluzione di problemi e modelli differenziali e di un esercizio a carattere teorico. Esempi di tipologie ricorrenti di esercizi: Risolvere applicando la Trasformata di Laplace il seguente problema differenziale. Dato il seguente sistema dinamico, determinare le configurazioni di equilibrio e la loro stabilità. Risolvere con il metodo delle caratteristiche la seguente PDE del trasporto del I ordine. Applicare la separazione delle variabili per trovare la soluzione della seguente PDE. Determinare la soluzione stazionaria del seguente problema matematico. Gli esercizi comprendono anche un quesito di tipo teorico-concettuale (senza dimostrazioni); esempi di possibili domande sono riportati in seguito. Il tempo massimo a disposizione è di 120 minuti. Durante lo svolgimento dell’esame è consentito tenere esclusivamente un formulario sulle trasformate di Laplace notevoli disponibile sul portale della didattica. Il voto massimo dell’esame scritto è 30. L'esame orale consiste in due o tre domande che includono discussione dello scritto e in particolare degli esercizi non svolti o svolti in maniera errata e alcune domande sul programma svolto. La prova orale modifica il voto dello scritto di massimo + o - 5 punti. Esempi di possibili domande (teorico concettuali e orali): Trasformata di Laplace e applicazioni. Sistemi dinamici: equilibri e criterio di stabilità lineare. Stabilità nonlineare di sistemi dinamici. Biforcazioni in sistemi dinamici. Classificazione dei modelli matematici alle derivate parziali. Formulazione matematica del problema matematico. Equazione di diffusione e proprietà delle soluzioni. Soluzioni stazionarie di equazioni di diffusione ed equazioni ellittiche. Separazione delle variabili e applicazioni. Leggi di conservazione. Metodo delle caratteristiche. Equazioni del trasporto e proprietà delle soluzioni. Equazione delle onde e proprietà delle soluzioni

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.