La progettazione ingegneristica si serve sempre più dei risultati di simulazioni numeriche basate sull'integrazione di equazioni differenziali alle derivate parziali derivate da modelli fisici. Questo è particolarmente vero nel campo della progettazione aerospaziale, dove infatti la fluidodinamica computazionale, il calcolo strutturale e la simulazione di sistemi complessi hanno ottenuto i maggiori successi. Questo insegnamento si propone come un'introduzione ai fondamenti del calcolo numerico e del calcolo scientifico. Verranno descritte le principali tecniche numeriche di base e i metodi in uso per integrare equazioni alle derivate parziali: differenze finite ed elementi finiti per problemi ellittici e parabolici, volumi finiti per problemi iperbolici. I metodi studiati verranno poi applicati a problemi semplici, che siano in grado però di illustrare le caratteristiche di uno schema e i principali dettagli di implementazione.

Acquisizione delle tecniche di base del calcolo numerico classico (soluzione numerica di sistemi lineari algebrici di grandi dimensioni, approssimazione, integrazione numerica, equazioni differenziali ordinarie). Conoscenza dei principali strumenti del calcolo scientifico per la risoluzione di equazioni alle derivate parziali: differenze finite ed elementi finiti per problemi ellittici e parabolici, volumi finiti per problemi iperbolici. Applicazioni a semplici problemi. Competenza necessaria ad analizzare criticamente le simulazioni numeriche di fenomeni fisici fornite da software commerciale.

Una buona base di Analisi Matematica e Algebra Lineare e Geometria; elementi di programmazione.

Calcolo numerico di base: - Soluzione di sistemi lineari algebrici di grandi dimensioni; metodo del gradiente e del gradiente coniugato - Richiami su interpolazione polinomiale globale e a tratti. - Integrazione numerica. - Soluzione di sistemi di equazioni non lineari. - Soluzione di equazioni alle derivate ordinarie. Problemi ellittici: - Differenze finite. - Formulazione variazionale; condizioni al bordo di Dirichlet e di Neumann. - Metodo di Galerkin. - Problema del filo elastico e della trave elastica. - Problema della membrana elastica. - Problemi di convezione-diffusione. Problemi parabolici: - Semidiscretizzazione nello spazio con differenze finite o elementi finiti. - Discretizzazione nel tempo; metodo di Eulero esplicito e implicito, metodo di Crank-Nicolson. Problemi iperbolici: - Equazione del trasporto lineare; condizioni al contorno. - Leggi di conservazione scalari. - Metodi di Lax-Friedrichs, Upwind e Lax-Wendroff.

Nelle esercitazioni si approfondiranno gli argomenti svolti a lezione studiando in dettaglio alcune situazioni concrete ed illustrando le tecniche viste a lezione con esercizi. Le esercitazioni di laboratorio affronteranno sia l'implementazione pratica degli algoritmi in ambiente Matlab per casi particolarmente semplici sia lo studio critico dei risultati numerici ottenuti con i metodi proposti.

Il materiale dell'insegnamento è trattato nelle dispense fornite dal docente. Per una trattazione più completa ed approfondita, si rimanda ai libri seguenti: - G. Monegato, Metodi e algoritmi per il Calcolo Numerico, CLUT (2008). - S. Berrone, S. Pieraccini, Esercizi svolti di Calcolo Numerico con introduzione a Matlab, CLUT (2004). - A. Quarteroni, Modellistica numerica per problemi differenziali, Springer (2008) - R. LeVeque, Numerical methods for conservation laws, Birkhäuser Verlag (1990)

Modalità di esame: Test informatizzato in laboratorio; Prova orale facoltativa;

Exam: Computer lab-based test; Optional oral exam;

... L’esame è volto ad accertare la capacità di individuare ed applicare opportuni metodi numerici per risolvere alcuni problemi di base. L'esame consiste in una prova finale costituita da due parti: una contenente esercizi a risposta aperta, e una contenente quesiti a risposta chiusa, entrambe da svolgersi senza l'uso di appunti o libri. La parte riguardante gli esercizi a risposta aperta consiste generalmente in 3 esercizi, ciascuno dei quali è articolato in 2-3 domande sia teoriche che di carattere pratico, riguardanti tutto il programma dell'insegnamento. La parte con domande a risposta aperta permette di conseguire un punteggio massimo di 20 punti. La parte riguardante domande a risposta chiusa è costituita da un quiz con domande a risposta multipla, riguardanti l'uso del software Matlab e/o Octave per risolvere problemi numerici della tipologia di quelli affrontati a lezione; durante lo svolgimento della prova gli studenti avranno a disposizione il software. E' prevista una penalizzazione del 20% per risposte errate, mentre non vi è alcuna penaizzazione per risposte non date. La parte con domande a risposta chiusa permette di conseguire un punteggio massimo di 12 punti; se lo studente non raggiunge almeno 4 punti in questa parte, viene considerato respinto. La durata indicativa di ciascuna parte è di circa un'ora. Il docente, al raggiungimento di 29 punti, può richiedere una prova orale che è intesa ad accertare ulteriormente l'apprendimento della teoria, costituendo un ulteriore elemento di valutazione.

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.