Lo sviluppo della teoria matematica dei sistemi dinamici e' motivato, oltre che dal suo fascino concettuale e dalla sua geometrica eleganza, dal ruolo fondamentale che svolge nell'analisi e nel controllo dei fenomeni non lineari, della complessità del caos deterministico. I modelli non lineari sono inoltre fondamentali per la comprensione delle tecniche avanzate di "machine learning" e "deep learning" basate su reti neurali artificiali. La prima parte del corso ha per tema la stabilita' nel senso di Liapunov; si tratta di uno dei concetti piu' semplici, ma basilari della teoria dei sistemi dinamici, del quale vengono messi in luce sia gli aspetti topologici che quelli differenziali. Oltre al metodo delle funzioni di Liapunov, viene presentato il metodo della varieta' centrale. Tra i contenuti, sono inclusi i metodi di linearizzazione, la stabilita' strutturale, un accenno alla teoria delle biforcazioni dell'equilibrio nei casi piu' elementari e i sistemi monotoni e contrattivi. La trattazione e' condotta prevalentemente per i sistemi a tempo continuo. Come premessa allo studio della stabilita' dei cicli viene data un'introduzione ai sistemi dinamici discreti e alla teoria di Floquet. La seconda parte del corso affronta in maniera piu' diretta il problema del comportamento asintotico dei sistemi non lineari di tipo oscillatorio (cicli limite). Vengono studiate e analizzate dinamiche complesse con attrattori strani e caotici. Viene estesa la teoria delle biforcazioni ai cicli e ai tori. Tra gli scopi primari vi e' un approfondito studio dei metodi numerici per lo studio del comportamento globale dei sistemi dinamici, nel dominio del tempo e nel dominio della frequenza (funzione descrittiva e bilanciamento armonico). Durante il corso, vengono presentati in dettaglio alcuni esempi classici: oscillatore di Chua, mappa di Bernoulli, mappa tenda e mappa logistica. Infine si introducono alcuni fondamenti sui sistemi neuromorfi.

Capacita' di studiare la stabilita' della posizione d'equilibrio di un sistema dinamico non lineare in tempo continuo, per mezzo del metodo di linearizzazione, del metodo delle funzioni di Liapunov, del metodo della varieta' centrale, della teoria dei sistemi monotoni e contrattivi. Capacita' di discutere semplici casi di biforcazione. Capacita' di determinare ed analizzare qualitativamente e numericamente i moti oscillatori presenti nei sistemi dinamici di interesse per varie discipline applicate, ed in particolare per l'ingegneria elettrica ed elettronica. Capacità di comprendere i concetti fondamentali dei sistemi neuromorfi.

Analisi matematica, geometria, fondamenti di probabilità statistica, fondamenti di elettrotecnica acquisiti in Fisica II.

Prima parte (30h) Sistemi lineari. Sistemi dinamici negli spazi metrici. Posizioni d'equilibrio, cicli, orbite eterocline e omocline. Insieme limite e sue proprieta'. Teoria di Poincare'-Bendixson. Stabilita' e attrattivita' degli insiemi compatti. Regione di attrazione. Teoremi di Liapunov. Principio di invarianza. Stabilita' in prima approssimazione. Equivalenza topologica, Teorema di Hartman-Grobman. Stabilita' strutturale. Teoria della varieta' centrale e applicazioni. Biforcazioni dell'equilibrio e loro classificazione elementare. Forme normali (teoria di Dulac-Poincare'). Sistemi dinamici discreti, teoria di Floquet. Sistemi monotoni e contrattivi. Seconda parte (30h) Oscillatori di fase. Aggancio di fase e in frequenza. Equazioni del moto per di sistemi dinamici non lineari: pendolo, oscillatore armonico, oscillatore di Van der Pol, sistema massa-smorzatore ... Analisi qualitativa di oscillazioni in sistemi dinamici di ordine due: oscillatori a rilassamento. Metodo delle equazioni medie per oscillatori debolmente non lineari. Biforcazioni di cicli limite. Sistemi non lineari costituiti da oscillatori di fase. Sincronizzazione. Metodo della funzione descrittiva e bilanciamento armonico. Oscillatore di Lur'e. Sistemi neuromorfi.

Lezioni: circa 50 ore Esercitazioni: circa 10 ore.

Il materiale per le lezioni e le esercitazioni sarà fornito direttamente dai docenti.

Modalità di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale obbligatoria;

Exam: Written test; Compulsory oral exam;

... L’esame si basa su una prova scritta che include otto (8) domande a risposta multipla e due (2) problemi con risposta aperta. La prova ha una durata di 75 minuti. Una risposta corretta in una domanda a risposta multipla fornisce due punti, mentre una risposta sbagliata da una penalizzazione di 0.66 punti. Nessuna penalità è prevista in caso di non risposta. Ogni problema a risposta aperta ha un punteggio massimo di 7 punti. L’esame scritto è seguito da una prova orale obbligatoria. La prova orale vertè su tutti gli argomenti presentati durante il corso e su una discussione della prova scritta. Se la prova orale è ritenuta sufficiente (18/30), la votazione finale sarà una valutazione complessiva che tiene conto per il 75% della prova scritta e per il 25% della prova orale. Libri e/o appunti non possono essere usati durante la prova, ma l’uso di una calcolatrice scientifica è consentito.

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.