L'insegnamento si propone di introdurre gli studenti alla teoria matematica della meccanica quale prototipo di formalizzazione analitica rigorosa di fenomeni primariamente fisici e, secondariamente, di tutti quelli che sono oggetto delle scienze della complessità. Gli argomenti riguardano, nello specifico, la meccanica del corpo rigido e dei sistemi articolati, la meccanica lagrangiana e la teoria qualitativa del moto, con cenni alle misure di informazione.

Al termine dell'insegnamento lo studente sarà in grado di: (i) caratterizzare le grandezze cinematiche fondamentali per la descrizione del moto di sistemi meccanici complessi ad un numero finito di gradi di libertà, stabilire relazioni tra grandezze valutate in sistemi di riferimento diversi (inerziali e non); (ii) studiare le configurazioni statiche di questi sistemi sottoposti all'azione di forze e analizzarne la stabilità; (iii) calcolare le reazioni vincolari agenti su questi sistemi in condizioni statiche; (iv) scrivere le equazioni differenziali che governano il moto di questi sistemi; (v) studiare opportune approssimazioni del moto di questi sistemi nell'intorno delle configurazioni di equilibrio stabili; (vi) avvicinarsi allo studio dei sistemi complessi, del Machine Learning e dell’Intelligenza Artificiale. Lo studente avrà in tal modo acquisito familiarità con i concetti di lavoro virtuale, potenza, energia cinetica e potenziale, oltre che di dinamica simbolica, che trovano ampia applicazione oltre il perimetro della Meccanica, in particolare nello studio dei fenomeni complessi in generale.

Familiarità con le metodologie matematiche di base apprese negli insegnamenti di Analisi Matematica I, II e Geometria.

- Richiami di calcolo vettoriale in R3. Prodotto scalare e modulo, basi e componenti, cambiamenti di base, prodotto vettoriale, prodotto misto, sistemi di vettori applicati, centro di un sistema di vettori paralleli. - Richiami di geometria differenziale di curve e superfici. Lunghezza di una curva, ascissa curvilinea, terna intrinseca (versori tangente, normale e binormale), parametrizzazione di una superficie, spazio tangente. - Cinematica del punto. Traiettoria e legge oraria, velocità, accelerazione. - Cinematica del corpo rigido. Vincolo di rigidità, teorema di Poisson e velocità angolare, leggi di distribuzione delle velocità, delle accelerazioni, particolari moti rigidi (traslatorio, rototraslatorio, rotatorio, piano), atto di moto, centro istantaneo di rotazione per moti piani, teorema di Chasles. - Cinematica relativa. Derivata di un vettore rispetto a due osservatori, legge di composizione delle velocità, (teorema di Galileo), legge di composizione delle accelerazioni (teorema di Coriolis), legge di composizione delle velocità angolari. - Sistemi vincolati. Classificazione dei vincoli (olonomi, anolonomi, bilateri, unilateri, scleronomi, reonomi), coordinate lagrangiane e gradi di libertà, velocità, spostamenti virtuali. - Geometria delle aree e delle masse. Caratteristiche geometriche delle sezioni piane, baricentro, centro di massa, momenti statici, momenti di inerzia, teorema di Huygens-Steiner, matrice di inerzia, assi principali di inerzia. Esempi di calcolo delle caratteristiche geometriche di sezioni piane notevoli (rettangolo, quadrato, cerchio, sezioni composte da rettangoli: sezione a T, a doppia T, a U). - Equazioni cardinali della dinamica. Sistemi di forze, risultante e momento risultante, lavoro e lavoro virtuale di una forza, lavoro di forze su un sistema olonomo, forze generalizzate, lavoro di forze su un sistema rigido, dinamica del punto materiale, postulato delle reazioni vincolari, vincoli ideali, quantità di moto, momento delle quantità di moto, equazioni cardinali della dinamica, momento delle quantità di moto e sua derivata temporale per sistemi rigidi, equazioni di Eulero, equazioni pure del moto, integrali primi del moto. - Statica ed equilibrio. Equazioni cardinali della statica, principio dei lavori virtuali, statica dei sistemi rigidi, statica dei sistemi olonomi, configurazioni di equilibrio ordinarie e di confine, potenziale e teorema di stazionarietà del potenziale, stabilità (in senso statico), massimi del potenziale. - Energia cinetica. Teorema di Koening, espressione dell'energia cinetica per un sistema rigido e per un sistema olonomo, matrice di massa, potenza di forze, teorema dell'energia cinetica, conservazione dell'energia meccanica. -Meccanica lagrangiana. Equazioni di Lagrange per sistemi olonomi, lagrangiana, integrale primo dei momenti cinetici. -Piccoli moti. Linearizzazione delle equazioni di Lagrange, pulsazioni e frequenze proprie di oscillazione. - Trasformazione logistica e a tenda: biforcazioni e orbite periodiche, esponenti di Lyapunov, misure invarianti, dinamica simbolica, misure di informazione.

L'insegnamento si articola in: - lezioni teoriche frontali (50 ore); - esercitazioni in aula (30 ore). Durante le esercitazioni si propone agli studenti la risoluzione guidata di problemi principalmente sui seguenti argomenti: - cinematica del punto e del corpo rigido liberi e vincolati; - cinematica relativa; - calcolo delle caratteristiche geometriche di sezioni piane; - equazioni cardinali della dinamica; - equazioni cardinali della statica; - principio dei lavori virtuali e stazionarietà del potenziale; - determinazione delle configurazioni di equilibrio di un sistema meccanico e discussione della loro stabilità - calcolo delle reazioni vincolari in condizioni dinamiche e statiche; - equazioni di Lagrange; - linearizzazione delle equazioni del moto nellintorno di configurazioni di equilibrio stabili; - calcolo di esponenti di Lyapunov ed evoluzione delle misure di semplici trasformazioni dell’intervallo. Durante le esercitazioni si propone altresì la risoluzione di temi d'esame degli anni passati.

Per la teoria: - P. Biscari, T. Ruggeri, G. Saccomandi, M. Vianello. Meccanica Razionale, Springer, 2016. – Roberto Livi, Lamberto Rondoni. Aspetti elementari della complessità, CLUT, 2008. Per gli esercizi: - A. Muracchini, T. Ruggeri, L. Seccia. Esercizi e temi d'esame di Meccanica razionale, Esculapio, 2013. Durante le ore di esercitazione saranno resi disponibili, e parzialmente svolti, ulteriori esercizi sui vari argomenti dell'insegnamento. Sul Portale della Didattica sarà inoltre messa a disposizione degli studenti una raccolta di temi d'esame svolti assegnati agli appelli degli anni passati.

Modalità di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale facoltativa; Prova scritta in aula tramite PC con l'utilizzo della piattaforma di ateneo;

Exam: Written test; Optional oral exam; Computer-based written test in class using POLITO platform;

... L'esame è costituito da una prova scritta della durata di 120 minuti, volta a verificare le conoscenze teoriche degli studenti e la loro capacità di trattare qualitativamente sistemi meccanici. La prova è strutturata in due parti: - una o più domande di teoria a risposta multipla (per un totale di 5 punti); le risposte errate non comportano penalità; - un esercizio sugli argomenti svolti a lezione e durante le esercitazioni, scomposto in diverse domande a risposta multipla (per un totale di 26 punti); le risposte errate comportano una penalità del 50% dei punti attribuiti. Il punteggio massimo conseguibile con la prova scritta è 31, corrispondente ad una votazione di 30L. I punteggi superiori a 30 e inferiori a 31 sono convertiti in 30. Durante lo svolgimento dell'esame è consentito consultare un formulario compilato a cura dello studente, con l'unico vincolo di occupare al massimo una facciata di foglio A4. L'esame può comprendere anche una prova orale, ad integrazione di quella scritta, su richiesta dello studente (se risultato sufficiente allo scritto) o per libera decisione del docente, nel caso in cui sia opportuno un approfondimento. La prova orale consiste in domande che possono includere sia la dimostrazione di teoremi sia l'applicazione di tecniche risolutive e descrittive sviluppate durante l'insegnamento. Se richiesta, la prova orale concorre a determinare il voto finale dell'esame insieme con quella scritta. In particolare, essa può comportare sia l'innalzamento sia l'abbassamento del voto conseguito allo scritto senza limiti predefiniti (in più o in meno).

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.