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Theory of symmetric polynomials and applications
01HVXUR
A.A. 2023/24
Course Language
Inglese
Degree programme(s)
Doctorate Research in Scienze Matematiche - Torino
Course structure
| Teaching | Hours |
|---|---|
| Lezioni | 30 |
Lecturers
| Teacher | Status | SSD | h.Les | h.Ex | h.Lab | h.Tut | Years teaching |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Gatto Letterio | Professore Associato | MATH-02/B | 30 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Co-lectures
Context
| SSD | CFU | Activities | Area context | *** N/A *** |
|---|
Lo scopo del corso è quello di offrie una presentazione della teoria dei polinomi simmetrici alla luce di nuove
metodologie che ne consentono un uso più flessibile del formalismo e con applicazioni all'algebra multilineare, alla
combinatoria, all'algebra, alla teoria delle rappresentazioni e alla fisica matematica (Corrispondenza di Bose-Fermi),
Matr Docente Tit/Coll Tipo alla Geometria algebrica (coomologia classica, quantica e equivariante delle Grassmanniane) e, possibilmente, alla coomologia degli schemi di Hilbert su superficie).
The aim of the course is to offer a presentation of the theory of symmetric polynomials in the light of new
methodologies that allow a more flexible use of the formalism and with applications to multilinear algebra,
combinatorics, algebra, representation theory, mathematical physics (Bose-Fermi correspondence and integrable
systems), to algebraic geometry (classical, quantum and equivariant cohomology of Grassmannians and, possibly, to the cohomoloy of zero-dimensional Hilbert schemes on algebraic surfaces)
Algebra Lineare e Geometria, Analisi 1 e Analisi 2. L'algebra multilineare che occorre verrà sviluppata nel corso
Linear Algebra and Geometry, Analisys 1, Analysis 2. The needing Multilinear algebra will be developped along the
course
Azioni di gruppi su insiemi. Azioni del gruppo simmetrico su anelli di polinomi e punti fissi dell'azione. Introduzione alla
teoria delle partizioni, dei diagrammi di Young e dei tableaux di Young. Polinomi simmetrici completi, elementari, di
Schur, somme di potenze e loro funzioni generatrici. L'algebra esterna come rappresentazione (non irriducibile)
dell'algebra dei polinomi simmetrici. Formula di Jacobi-Trudi, formule di Pieri. Introduzione alla teoria dei polinomi
simmetrici di Jack e di Macdonald. Applicazione alle equazioni differenziali lineari ordinarie universali. Il teorema di Cayley-Hamilton per spazi vettoriali di dimensione infinita. La
corrispondenza di Bose-Fermi e gli operatori di vertice. Discussione di problemi aperti e offerta di spunti di ricerca.
Actions of groups on sets. Actions of the symmetric group on polynomial rings and fixed points of the action.
Introduction to the theory of partitions, Young's diagrams and Young's Tableaux. Complete, elementary and Schur
complete polynomials, power sums and their generating functions. The exterior algebra as a (non-irreducible)
representation of the algebra of symmetric polynomials. Jacobi-Trudi formula, Pieri formulas. Introduction to the theory
of symmetric polynomials by Jack and Macdonald. Application to universal linear ordinary differential equations. The cayley-Hamilton theorem for infinite dimensional vector spacs. The
Bose-Fermi correspondence and top operators. Discussion of open problems and proposing of research topics.
In presenza
On site
Presentazione report scritto - Presentazione orale
Written report presentation - Oral presentation
P.D.2-2 - Marzo
P.D.2-2 - March
Il corso avrà una spiccata connotazione interdisciplinare e quindi di interesse per studenti orientati sia all'algebra e alla geometria algebrica che alla fisica matematica e all'analisi.
The course will have a strong interdisciplinary connotation and therefore of interest to students oriented both to algebra and algebraic geometry and to mathematical physics and analysis.