La progettazione ingegneristica si serve sempre più dei risultati di simulazioni numeriche basate sull'integrazione di equazioni differenziali alle derivate parziali derivate da modelli fisici. Questo è particolarmente vero nel campo della progettazione aerospaziale, dove infatti la fluidodinamica computazionale, il calcolo strutturale e la simulazione di sistemi complessi hanno ottenuto i maggiori successi. Questo insegnamento si propone come un'introduzione ai fondamenti del calcolo numerico e del calcolo scientifico. Verranno descritte le principali tecniche numeriche di base e i metodi in uso per integrare equazioni alle derivate parziali: differenze finite ed elementi finiti per problemi ellittici e parabolici, volumi finiti per problemi iperbolici. I metodi studiati verranno poi applicati a problemi semplici, che siano in grado però di illustrare le caratteristiche di uno schema e i principali dettagli di implementazione.

Acquisizione delle tecniche di base del calcolo numerico classico (soluzione numerica di sistemi lineari algebrici di grandi dimensioni, approssimazione, integrazione numerica, sistemi di equazioni non lineari, equazioni differenziali ordinarie). Conoscenza dei principali strumenti del calcolo scientifico per la risoluzione di equazioni alle derivate parziali: differenze finite ed elementi finiti per problemi ellittici e parabolici, volumi finiti per problemi iperbolici. Applicazioni a semplici problemi. Competenza necessaria ad analizzare criticamente le simulazioni numeriche di fenomeni fisici fornite da software commerciale.

Una buona base di Analisi Matematica e Algebra Lineare e Geometria; elementi di programmazione.

Calcolo numerico di base: - Soluzione di sistemi lineari algebrici di grandi dimensioni; metodo del gradiente e del gradiente coniugato - Richiami su interpolazione polinomiale globale e a tratti. - Integrazione numerica. - Soluzione di sistemi di equazioni non lineari. - Soluzione di equazioni alle derivate ordinarie (problemi ai valori iniziali). Problemi ellittici: - Differenze finite. - Formulazione variazionale; condizioni al bordo di Dirichlet e di Neumann. - Metodo di Galerkin. - Problema del filo elastico e della trave elastica. - Problema della membrana elastica. - Problemi di convezione-diffusione. Problemi parabolici: - Semidiscretizzazione nello spazio con differenze finite o elementi finiti. - Discretizzazione nel tempo; metodo di Eulero esplicito e implicito, metodo di Crank-Nicolson. Problemi iperbolici: - Equazione del trasporto lineare; condizioni al contorno. - Leggi di conservazione scalari. - Metodi di Lax-Friedrichs, Upwind e Lax-Wendroff.

Il corso è organizzato in lezioni teoriche, esercitazioni in aula ed esercitazioni di laboratorio. Nelle esercitazioni in aula si approfondiranno gli argomenti svolti a lezione studiando in dettaglio alcune situazioni concrete ed illustrando le tecniche viste a lezione con esercizi. Le esercitazioni di laboratorio affronteranno sia l'implementazione pratica degli algoritmi in ambiente Matlab per casi semplici sia lo studio critico dei risultati numerici ottenuti con i metodi proposti.

Il docente fornisce le slide usate durante le lezioni come traccia degli argomenti affrontatati. Per una trattazione completa ed approfondita, si rimanda ai libri seguenti: - G. Monegato, Metodi e algoritmi per il Calcolo Numerico, CLUT (2008). - S. Berrone, S. Pieraccini, Esercizi svolti di Calcolo Numerico con introduzione a Matlab, CLUT (2004). - A. Quarteroni, Modellistica numerica per problemi differenziali, Springer (2008) - R. LeVeque, Numerical methods for conservation laws, Birkhäuser Verlag (1990)

Slides; Libro di testo; Esercizi; Esercitazioni di laboratorio risolte; Video lezioni tratte da anni precedenti; Strumenti di auto-valutazione;

E' possibile sostenere l’esame in anticipo rispetto all’acquisizione della frequenza

Modalità di esame: Test informatizzato in laboratorio; Prova orale facoltativa; Prova scritta in aula tramite PC con l'utilizzo della piattaforma di ateneo;

Exam: Computer lab-based test; Optional oral exam; Computer-based written test in class using POLITO platform;

... L’esame è volto ad accertare la capacità di individuare ed applicare opportuni metodi numerici per risolvere alcuni problemi di base. L'esame consiste in una prova finale costituita sia da esercizi a risposta aperta che quesiti a risposta chiusa, erogati tramite piattaforma informatizzata. A questa prova può eventualmente seguire una prova orale, secondo le modalità di seguito descritte. Il voto finale dell’esame, espresso in trentesimi, viene determinato tenendo conto del punteggio conseguito nella prova finale, nonché dell’esito della prova orale, nel caso questa venga effettuata. Gli esercizi a risposta aperta contengono domande sia teoriche che di carattere pratico, riguardanti tutto il programma dell'insegnamento. Le domande a risposta chiusa, costituite da quiz a risposta multipla, richiederanno tipicamente l'applicazione dei metodi numerici illustrati a lezione ad alcuni problemi assegnati, usando il software Matlab e/o Octave; per le domande a risposta multipla è prevista una penalizzazione del 20% per le risposte errate, mentre non vi è alcuna penalizzazione per risposte non date. Durante tutta la durata della prova, gli studenti avranno a disposizione il software Matlab e/o Octave. Non sarà possibile consultare libri o appunti, ma sarà possibile consultare un formulario messo a disposizione del docente tramite la piattaforma informatizzata. La durata indicativa della prova è di circa due ore e permette di conseguire fino a 32 punti. Se il punteggio conseguito nella prova è inferiore a 29, il voto finale è dato dal punteggio conseguito. Se invece il punteggio conseguito è maggiore o uguale a 29 punti, è richiesta dal docente una prova orale, che è rivolta ad accertare ulteriormente l'apprendimento della teoria e costituisce un ulteriore elemento di valutazione. Gli argomenti affrontati nella prova orale vertono su tutto il programma del corso. Nel caso in cui venga effettuata anche la prova orale, il voto finale dell’esame sarà stabilito tenendo conto sia del punteggio conseguito nella prova in laboratorio, sia dell’esito della prova orale.

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.