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An introduction to Gamma-convergence: Theory and applications
01GOKUR
A.A. 2024/25
Course Language
Inglese
Degree programme(s)
Doctorate Research in Scienze Matematiche - Torino
Course structure
| Teaching | Hours |
|---|---|
| Lezioni | 20 |
Lecturers
| Teacher | Status | SSD | h.Les | h.Ex | h.Lab | h.Tut | Years teaching |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Morandotti Marco | Professore Associato | MATH-03/A | 20 | 0 | 0 | 0 | 2 |
Co-lectures
Context
| SSD | CFU | Activities | Area context | *** N/A *** |
|---|
Il corso si propone di presentare agli studenti il concetto di convergenza variazionale, particolarmente adatta per studiare i limiti di funzionali integrali e dei relativi problemi di minimo. La minimizzazione di un funzionale integrale rappresenta la ricerca della configurazione di equilibrio di un sistema fisico. Spesso ci si trova nella situazione di avere una successione di funzionali dipendenti da un parametro e si vuole studiarne il limite, oppure si può pensare di approssimare un funzionale arduo da studiare con delle opportune approssimazioni. La Gamma-convergenza fornisce gli strumenti per effettuare tale processo di limite garantendo, sotto opportune ipotesi, che i minimi dei problemi approssimanti convergano al minimo del problema limite.
Dopo l’introduzione dei concetti di base, il corso prevede lo studio di alcuni problemi classici e uno sguardo su problemi di ricerca attuali.
L’esame consisterà in un seminario nel quale gli studenti esporranno o il contenuto di un articolo di ricerca, o la loro soluzione originale ad un problema concordato con il docente.
The course aims at introducing to the students the concept of variational convergence, which is particularly suited to study limits of integral functionals and of minimization problems. The minimization of an integral functional is the mathematical tool to search for equilibrium configurations of a physical system. One often encounters the situation in which the limit of a sequence of a family of functionals is sought for, or needs to approximate a given functional (which is possibly hard to study) by some suitable approximations. Gamma-convergence provided the right tools to deal with this limit process, also granting, under suitable hypotheses, the convergence of the minima of the approximating functionals to the minimum of the limit one.
After introducing the basic notions of Gamma-convergence, the course will cover some classical problems, as well as some research problems.
The exam will consist of a seminar in which the students will present a research paper or their original solution to a problem to be agreed upon with the teacher.
I corsi di analisi, topologia generale, analisi funzionale. Il corso di metodi variazionali non è strettamente richiesto ma può essere utile averlo seguito.
The basic courses in mathematical analysis, general topology, functional analysis. The course of variational methods is not strictly required, but can offer an advantage.
Introduzione alla Gamma-convergenza: Gamma-convergenza per numeri, funzioni, funzionali.
Gamma-convergenza in spazi astratti. Convergenza dei minimi.
Il funzionale di Modica-Mortola.
Riduzione di dimensione.
Rilassamento.
Omogeneizzazione.
Cenni ad altre applicazioni.
Bibliografia di base:
Braides: Gamma-convergence for beginners.
Dal Maso: An introduction to Gamma-convergence.
Ulteriori referenze verranno segnalate durante il corso.
Introduction to Gamma-convergence: Gamma-convergence by numbers, functions, functionals.
G-convergence in abstract spaces. Convergence of minima.
The Modica-Mortola functional.
Dimension reduction.
Relaxation.
Homogenization.
Further applications.
Basic references:
Braides: Gamma-convergence for beginners.
Dal Maso: An introduction to Gamma-convergence.
More references will be provided during the course.
In presenza
On site
Presentazione orale
Oral presentation
P.D.1-1 - Novembre
P.D.1-1 - November
Calendario provvisorio delle lezioni (tutte nell'aula seminari del DISMA):
lunedì 25 novembre 13-16
mercoledì 27 novembre 15-18
venerdì 29 novembre 14-17
lunedì 2 dicembre 13-16
mercoledì 4 dicembre 15-18
venerdì 6 dicembre 14-17
lunedì 9 dicembre 13-15
Tentative schedule (all classes in "aula seminari" at the department of mathematical sciences)
Monday 25 November 1-4pm
Wednesday 27 November 3-6pm
Friday 29 November 2-5pm
Monday 2 December 1-4pm
Wednesday 4 December 3-6pm
Friday 6 December 2-5pm
Monday 9 December 1-3pm