L’ obiettivo principale dell'insegnamento Istituzioni di Algebra e Geometria è di completare la formazione di base dello studente con riferimento sia ai contenuti degli insegnamenti di Analisi Matematica che di Geometria. Vengono infatti presentati elementi di algebra e topologia, preceduti da una introduzione riguardante i fondamenti della matematica.

Al termine dell'insegnamento si richiederà allo studente di - Conoscere e aver appreso il linguaggio di base e le tecniche di ragionamento propri di questi settori della matematica. - Applicare le conoscenze acquisite alla formalizzazione di semplici problemi algebrici e topologici. - Aver acquisito la capacità di risolvere semplici problemi relativi agli argomenti trattati. - Conoscere la terminologia e i risultati di base necessari per affrontare la consultazione di testi di algebra e topologia.

L'insegnamento presuppone che gli studenti conoscano gli argomenti trattati negli insegnamenti di Analisi Matematica I e di Algebra Lineare e Geometria.

ALGEBRA (5cfu) Corrispondenze e funzioni. Relazioni d’equivalenza e d’ordine. Assioma della scelta e lemma di Zorn. Numerabilita’ di un insieme: cenni sulla cardinalità. Principio di induzione forte e debole. Numeri interi, classi di resto, numeri primi, fattorialità, algoritmo euclideo. Gruppi, sottogruppi e sottogruppi normali: esempi (gruppi abeliani finiti, gruppi di matrici, gruppo diedrale, gruppo simmetrico). Omomorfismi di gruppi. Anelli, sottoanelli e ideali: esempi (numeri interi, anello dei polinomi, anello delle matrici quadrate). Omomorfismi di anelli. Campi e corpi: esempi (Q, R, C, H, O, campo delle funzioni razionali). Campi finiti e infiniti, estensioni algebriche e trascendenti. Cenni di algebra multilineare. TOPOLOGIA (5cfu) Cenni di teoria degli insiemi. Spazi metrici e loro proprietà. Funzioni continue e isometrie. Spazi topologici. Intorni e insiemi chiusi. Spazi di Hausdorff. Topologia indotta. Topologia associata a una metrica. Base di una topologia e basi di intorni. Parte interna, chiusura, derivato e frontiera di un insieme. Insiemi densi. Limiti e chiusura negli spazi metrici. Funzioni continue, funzioni aperte e chiuse, omeomorfismi. Proprietà di separazione. Topologia prodotto. Connessione. Componenti connesse. Prodotto di spazi connessi. Connessione per archi. Compattezza. Prodotto di spazi compatti. Teorema di Heine-Borel e compattezza per successioni. Successioni di Cauchy in spazi metrici, spazi metrici completi e completezza di R e di R^n Topologia quoziente. Spazi proiettivi. Varietà topologiche e superfici.

L'insegnamento consta di 60 ore di lezioni teoriche e 40 ore di esercitazioni in aula.

Per la parte di Topologia M. Ferrarotti, F. Malaspina, Primi Passi nella Topologia, M. Manetti, Topologia, Springer S. Lipschutz, Topologia: teoria e problemi di... Collana Schaum 39. ETAS C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Zanichelli. Per la parte di Algebra A. Conte, L. Picco Botta, D. Romagnoli, Algebra, Levrotto e Bella. M. Artin, Algebra, Bollati Boringhieri.

Libro di testo; Esercizi; Esercizi risolti;

Modalità di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale obbligatoria;

Exam: Written test; Compulsory oral exam;

... L’esame è volto ad accertare la conoscenza degli argomenti sopra elencati, nonché la capacità di applicare la teoria ed i suoi metodi alla risoluzione di esercizi e alla dimostrazione di semplici enunciati. L’esame è costituito da una prova orale obbligatoria, cui si accede superando una prova scritta della durata totale di 120 minuti. PROVA SCRITTA La prova scritta, è articolata in due parti, una di algebra e una di topologia, ciascuna della durata di 60 minuti. Per ciascuna parte si richiede di affrontare e risolvere degli esercizi (di norma 2 o 3), ciascuno strutturato in vari punti. La prova scritta si intende superata qualora si abbia conseguito un punteggio di almeno 15/30 in ciascuna delle due parti di cui esso si compone. Durante la prova scritta non si possono utilizzare libri di alcun tipo, appunti del corso, strumenti di calcolo e comunicazione. PROVA ORALE L'orale dell’esame deve essere sostenuto nell’appello in cui si è superato lo scritto. La prova orale è anch’essa articolata in due parti, una di algebra e una di topologia. Ciascuna di esse è volta ad accertare una adeguata conoscenza della teoria discussa durante l'insegnamento e include una discussione della corrispondente parte della prova scritta. A conclusione dell’orale, per ciascuna delle parti di cui esso si compone, verrà assegnato un punteggio compreso fra -15/30 e 15/30. VOTO FINALE Per ciascuna delle due parti di algebra e di topologia verrà assegnato un punteggio dato dalla somma algebrica dei punteggi ottenuti nello scritto e nell’orale di quella parte. L’esame si considera superato qualora si abbia conseguito un punteggio di almeno 18/30 in ciascuna delle due parti. In tal caso il voto finale sarà ottenuto arrotondando per eccesso la media aritmetica dei punteggi ottenuti nelle due parti.

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.