L’insegnamento di Algebra Lineare e Geometria ha due obiettivi principali. Il primo è presentare argomenti di base di algebra lineare e geometria analitica, educando al ragionamento logico deduttivo utilizzando un linguaggio formale appropriato. Il secondo obiettivo è presentare agli studenti i concetti fondamentali di alcuni metodi numerici di base dell’algebra lineare e la loro implementazione in ambiente Matlab, software numerico ormai ampiamente diffuso nel campo dell’ingegneria. In questo modo si vuole mostrare come gli aspetti teorici, simbolici e numerici interagiscono tra loro.

L’insegnamento vuole sviluppare la capacità da parte dello studente di comprendere argomenti logico deduttivi sottolineando il ruolo delle ipotesi, ad esempio, tramite la costruzione di esempi e controesempi. Lo studente acquisisce strumenti e tecniche che permettono di operare con enti geometrici (vettori nel piano e nello spazio, rette, piani, coniche e quadriche) e algebrici (sistemi di equazioni lineari, matrici, polinomi, autovalori, autovettori, spazi vettoriali e loro trasformazioni). Lo studente acquisisce inoltre le competenze necessarie per trattare numericamente, anche mediante l’utilizzo di un calcolatore, tutte quelle situazioni in cui i metodi algebrici non sono applicabili con “carta e penna” (ad esempio, risoluzione di un sistema lineare con un numero elevato di incognite ed equazioni). In particolare, lo studente impara a identificare un ente geometrico/algebrico, a riconoscerne le proprietà teoriche e a individuare e applicare il metodo algebrico/numerico più opportuno per il suo trattamento. L’implementazione e l’applicazione dei metodi numerici viene effettuata tramite il software MATLAB, di cui lo studente apprenderà la sintassi di base.

E` richiesta una buona dimestichezza con i concetti e gli strumenti matematici presentati negli insegnamenti del primo semestre. In particolare, sono necessarie le nozioni base sui numeri reali e complessi, su equazioni e disequazioni di primo e secondo grado, sul calcolo differenziale e integrale in una variabile forniti nell’insegnamento di Analisi Matematica I. E` richiesta inoltre la conoscenza dei principali costrutti sintattici, che si usano per la programmazione, forniti nell’insegnamento di Informatica.

• Vettori nel piano e nello spazio e loro operazioni. Prodotto scalare, prodotto vettoriale e prodotto misto. Rette e piani nello spazio. Proiezioni ortogonali. • Matrici e loro operazioni. Matrici fortemente ridotte per righe. Sistemi di equazioni in forma matriciale e loro risoluzione con applicazioni geometriche. Equazioni matriciali, calcolo dell’inversa di una matrice. Determinanti. • Spazi vettoriali: definizioni, esempi ed applicazioni. Sottospazi vettoriali. Operazioni notevoli fra sottospazi. • Combinazioni lineari e dipendenza lineare. Metodo degli scarti. Basi di uno spazio vettoriale. Dimensione di uno spazio vettoriale. Dimensione di un sottospazio vettoriale finitamente generato. • Lo spazio vettoriale dei polinomi. La formula di Grassmann. • Applicazioni lineari. Immagine di un’applicazione lineare. Applicazioni lineari iniettive e suriettive. Isomorfismi. • Matrice di un’applicazione lineare. Endomorfismi e matrici quadrate. • Autovalori e autovettori. Autospazi di endomorfismi e di matrici. Polinomio caratteristico e spettro di un endomorfismo. Diagonalizzazione di un endomorfismo. • Basi ortonormali, matrici ortogonali. Algoritmo di Gram-Schmidt. Diagonalizzazione di matrici simmetriche mediante matrici ortogonali. Forme quadratiche e carattere di definizione. • Problemi metrici : distanza punto-retta, punto-piano, retta-retta. • Geometria quadratica: coniche, sfere. Quadriche non-degeneri in forma canonica. Riconoscimento di una quadrica. • Aritmetica di macchina: numeri di macchina, operazioni di macchina, errore di arrotondamento. Condizionamento di un problema numerico. Stabilità di un algoritmo. • Sistemi lineari: condizionamento e metodi numerici diretti. Fattorizzazioni di matrici: PA=LU, Choleski, QR e loro principali applicazioni. • Autovalori di matrici: condizionamento e metodi numerici: potenze, potenze inverse, QR (cenni). Decomposizione ai valori singolari di matrici e sue principali applicazioni.

L’insegnameno consta di lezioni (circa 60 ore), esercitazioni in aula (circa 30 ore) e di laboratorio (circa 10 ore).

Sul portale della didattica sarà disponibile il materiale didattico preparato dai docenti contenente anche esercizi svolti e proposti. Si fornisce una lista di testi di riferimento frequentemente utilizzati. M. Ferrarotti, M. Abrate “Lezioni di Algebra Lineare”, CELID, 2018. M. Ferrarotti, M. Abrate “Lezioni di Geometria”, CELID, 2018. L. Gatto, Lezioni di Algebra lineare e Geometria, CLUT, 2018. S. Greco, P. Valabrega, Lezioni di Geometria, Vol. 1 Algebra lineare, Vol. 2 Geometria Analitica, Ed. Levrotto e Bella, Torino 2009. G. Monegato, Metodi e algoritmi per il Calcolo Numerico, CLUT, 2008. A. Quarteroni, F. Saleri, P. Gervasio, Scientific Computing with MATLAB and OCTAVE, Springer, 2014. G. Strang, Algebra Lineare, Apogeo, 2008. G. Strang, Introduction to Linear Algebra, Wellesley-Cambridge Press, 2016. E. Carlini, LAG: the written exam v1 and v2, CLUT 2019. E. Carlini, 50 quiz di Geometria CELID 2011. G. Casnati, M.L. Spreafico, Allenamenti di Geometria, Ed. Esculapio, Bologna 2013. J. Cordovez, Chissà chi lo sa?, CLUT 2013. L. Scuderi, Laboratorio di Calcolo Numerico, CLUT, 2005.

Slides; Libro di testo; Libro di esercitazione; Esercizi; Esercizi risolti; Esercitazioni di laboratorio; Esercitazioni di laboratorio risolte; Video lezioni tratte da anni precedenti; Strumenti di simulazione; Strumenti di auto-valutazione;

E' possibile sostenere l’esame in anticipo rispetto all’acquisizione della frequenza

Modalità di esame: Test informatizzato in laboratorio; Prova scritta (in aula); Prova orale facoltativa;

Exam: Computer lab-based test; Written test; Optional oral exam;

... L’esame è volto ad accertare la conoscenza teorica degli argomenti e l’apprendimento della capacità di applicare la teoria anche in un contesto pratico. Viene inoltre accertata l’abilità acquisita dallo studente nell’individuare e applicare i metodi, numerici o teorici, più opportuni per la risoluzione di alcuni problemi di base e nell’interpretare correttamente i risultati ottenuti. L’esame riguarderà quindi gli aspetti sia teorici che applicativi dell’insegnamento. L'esame prevede: 1) una prima parte costituita da un test informatizzato in laboratorio; 2) una seconda parte costituita da una prova scritta in aula. Il test in laboratorio è costituito da 8 domande a risposta chiusa o aperta riguardanti gli aspetti teorici e pratici relativi all’applicazione dei metodi numerici illustrati durante l’insegnamento; per risolvere la maggior parte dei quesiti è necessario usare il software MATLAB. Questa prova, della durata di 45 minuti, permette di conseguire fino a 10 punti; ogni risposta errata comporta una penalizzazione pari al 15% solo in caso di domande a risposta chiusa; non ci sono penalizzazioni per le risposte non date. Questa parte dell'esame è superata se lo studente ottiene un punteggio maggiore o uguale a 4,25 punti. Il superamento di questa parte è necessario per essere ammessi alla seconda parte. La prova scritta in aula, della durata di 60 minuti, è costituita da 8 domande a risposta chiusa e da un esercizio con domande a risposta aperta riguardanti gli aspetti teorici e pratici dell'algebra lineare e della geometria. Ogni risposta corretta ad una domanda a risposta chiusa vale 2 punti mentre l'esercizio permette di conseguire fino a 7 punti. Non ci sarà penalizzazione in caso di risposta errata. Condizione necessaria per il superamento dell'esame è che lo studente ottenga un punteggio maggiore o uguale a 7 punti per le domande a risposta chiusa e maggiore o uguale a 2 punti per l'esercizio. Il docente, a sua discrezione, può richiedere una prova orale (solo nel caso in cui lo studente abbia raggiunto le soglie delle prove precedenti ed abbia conseguito un punteggio totale di almeno 18 punti) che è intesa ad accertare ulteriormente l’apprendimento della teoria, costituendo un ulteriore elemento di valutazione. Durante il semestre vengono svolte due prove in itinere. Le prove sono costituite da esercizi integrati (parte numerica e algebro-geometrica) riguardanti aspetti sia teorici che pratici la cui risoluzione richiederà anche l'utilizzo di strumenti numerici. Ogni prova in itinere permette di conseguire fino ad un massimo di 3 punti, quindi un punteggio totale massimo di 6. Tale punteggio, solo negli appelli delle sessioni estiva e autunnale dell’anno accademico in cui è stato conseguito, concorre al voto finale nel seguente modo: a) 1/3 concorrerà al punteggio della prima parte che, in ogni caso, non potrà superare 10, quindi Punteggio prima parte = minimo {10, punteggio test di laboratorio + 1/3 del punteggio acquisito nelle prove in itinere}, fermo restando che il punteggio della prima parte così calcolato deve essere maggiore o uguale a 4.25 punti per il superamento della prima parte di esame; b) 2/3 concorreranno al punteggio della prova scritta, limitatamente alla parte relativa alle domande a risposta chiusa. In ogni caso, il punteggio di tale parte non potrà superare 16, quindi Punteggio seconda parte = minimo {16, punteggio domande a risposta chiusa + 2/3 del punteggio acquisito nelle prove in itinere} + punteggio acquisito con l’esercizio a risposta aperta, fermo restando che la somma del punteggio ottenuto con le domande a risposta chiusa e del contributo delle prove in itinere deve essere maggiore o uguale a 7 punti come condizione necessaria per il superamento dell’esame. Il voto finale è dato dalla somma dei punteggi conseguiti nella prima e nella seconda parte dell'esame. Un voto pari almeno a 18 comporta il superamento dell'esame. Un punteggio maggiore di 31 comporta l'assegnazione della lode. In caso si effettui la prova orale, il voto finale sarà stabilito tenendo conto sia del punteggio già conseguito nelle prove sopra menzionate, che dell’esito della prova orale. Durante le prove è vietato l'utilizzo di libri, appunti, dispositivi elettronici diversi dal PC del laboratorio e di altro materiale non autorizzato.

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.