L’insegnamento si rivolge agli studenti di Ingegneria Matematica e agli studenti interessati ai fondamenti matematici della elaborazione di segnali e immagini digitali in possesso di solide conoscenze di matematica di base. L’insegnamento tratta di alcuni temi di analisi armonica applicata e dei principi matematici dell'analisi dei segnali, partendo dall'analisi di Fourier discreta, fino ad arrivare all'analisi tempo-frequenza e tempo-scala (ondine). Da un punto di vista moderno i segnali sono rappresentati da vettori in uno spazio di Hilbert (di successioni o funzioni) e i problemi di approssimazione, compressione, denoising, si basano sulla ricerca di basi opportune rispetto alla quali i segnali di una data classe abbiano una rappresentazione sparsa. Tipicamente si tratta di basi strutturate, costruite attraverso operazioni di traslazione, modulazione e dilatazione a partire da una finestra/ondina fissata. I risultati classici della teoria dei segnali (campionamenti, filtri, banchi di filtri, ecc.) possono tutti rileggersi in questo linguaggio analitico-geometrico proprio dell'Analisi Funzionale che e’ illuminante in se’ ed e' utilizzato nella ricerca corrente in analisi tempo-frequenza e mathematical signal processing.

Comprensione degli argomenti trattati e relativa abilità di utilizzare adeguati strumenti matematici nelle discipline ingegneristiche. Precisamente, capacita' di formulare e studiare i problemi classici dell'analisi dei segnali in termini di operatori in spazi di Hilbert, proiezioni, sviluppi rispetto ad una base. Capacita' di utilizzare le basi piu' opportune per la rappresentazione, approssimazione e compressione di differenti classi di segnali. Capacita' di interpretare le varie trasformate in termini di localizzazione in tempo-frequenza e time-frequency tilings.

Gli argomenti trattati negli insegnamenti di Analisi Matematica I, II, Geometria oppure Algebra lineare e geometria e Analisi Funzionale. Un minimo di familiarità con qualche linguaggio di programmazione (e.g. Matlab oppure Python).

1) Richiami su spazi di Hilbert, basi ortonormali. Basi di Riesz e frames. Operatori di analisi e sintesi. Applicazioni all'identificazione facciale. 2) Sistemi lineari tempo-invarianti a tempo discreto. Analisi di Fourier discreta: trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT), trasformata zeta, trasformata di Fourier discreta (DTF). 3) Campionamento e interpolazione per funzioni e successioni. Localizzazione nel tempo e in frequenza, principio di indeterminazione e basi di ondine di funzioni. 4) Banchi di filtri. Trasformata ondina discreta (DWT), basi di ondine di successioni. Time-frequency tilings. 5) Trasformate tempo-frequenza continue: trasformata di Fourier a tempo brevi (STFT) e trasformata ondina continua (CWT). Relazione con il gruppo affine della retta. Applicazione alla individuazione delle singolarità.

L'insegnamento consiste di 40 ore di lezione e 20 ore di esercitazione in laboratorio. Le lezioni sono dedicate alla presentazione degli argomenti del programma dell'insegnamento con definizioni, proprietà ed alcune dimostrazioni ritenute utili per una migliore comprensione degli argomenti e per fornire gli strumenti necessari per sviluppare capacità di ragionamento logico-deduttivo da parte dello studente. Ogni argomento teorico trattato nelle lezioni viene arricchito da esempi introduttivi. Le ore di esercitazione sono dedicate allo studio di piccoli progetti nei laboratori informatici in Python (non si assume alcuna conoscenza di Python; le basi del linguaggio saranno spiegate nelle prime esercitazioni).

-- Note delle lezioni, fornite dal docente Per approfondimenti: -- S. Mallat, A wavelet tour of signal processing. The sparse way. Third edition. With contributions from Gabriel Peyré. Elsevier/Academic Press, Amsterdam, 2009. -- M. Vetterli, J. Kovacevic, V. Goyal, Foundations of signal processing, Cambridge University Press, 2014 (disponibile alla pagina http://www.fourierandwavelets.org) -- J. Kovacevic, V. Goyal, M. Vetterli, Fourier and wavelets signal processing, in preparazione (disponibile alla pagina http://www.fourierandwavelets.org) Ulteriore materiale sarà reso disponibile sul Portale della Didattica.

Slides; Dispense; Esercitazioni di laboratorio; Esercitazioni di laboratorio risolte; Video lezioni tratte da anni precedenti;

E' possibile sostenere l’esame in anticipo rispetto all’acquisizione della frequenza

Modalità di esame: Prova orale obbligatoria;

Exam: Compulsory oral exam;

... L’esame è volto ad accertare la conoscenza degli argomenti elencati nel programma ufficiale del corso e la capacità di applicare la teoria ed i relativi metodi di calcolo allo sviluppo di semplici progetti. In particolare, viene valutata la capacita' di formulare e studiare i problemi classici dell'analisi dei segnali in termini di operatori in spazi di Hilbert, proiezioni, sviluppi rispetto ad una base e la comprensione e capacita' di interpretazione, anche in termini qualitativi, delle trasformate e basi utilizzate correntemente per la rappresentazione sparsa di varie classi di segnali. Le valutazioni sono espresse in trentesimi e l’esame è superato se la votazione riportata è di almeno 18/30. L'esame consiste in una prova orale, che include la discussione di un esercizio o progetto assegnato durante il corso.

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.