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Geometric and Topological Aspects of Machine Learning and Deep Learning
01SNIUR
A.A. 2024/25
Course Language
Inglese
Degree programme(s)
Doctorate Research in Scienze Matematiche - Torino
Course structure
| Teaching | Hours |
|---|---|
| Lezioni | 30 |
Lecturers
| Teacher | Status | SSD | h.Les | h.Ex | h.Lab | h.Tut | Years teaching |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Vaccarino Francesco | Professore Associato | MATH-02/B | 30 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Co-lectures
Context
| SSD | CFU | Activities | Area context | *** N/A *** |
|---|
Questo corso offre un’esplorazione approfondita dei principi geometrici e topologici alla base delle moderne tecniche di machine learning e deep learning. L’obiettivo del corso è colmare il divario tra la teoria matematica astratta e le applicazioni pratiche nell’intelligenza artificiale. Gli studenti acquisiranno una comprensione profonda di come i concetti geometrici e topologici vengano utilizzati per migliorare le prestazioni, l’interpretabilità e la robustezza dei modelli di machine learning.
This course explores the geometric and topological principles underlying modern machine learning and deep learning techniques. The course aims to bridge the gap between abstract mathematical theory and practical applications in artificial intelligence. Students will gain a deep understanding of how geometric and topological concepts are utilized to improve the performance, interpretability, and robustness of machine learning models.
• Laurea magistrale in Ingegneria, Matematica, Informatica, Fisica o campi correlati.
• Solida conoscenza dell’algebra lineare, del calcolo, della teoria delle probabilità e delle basi del machine learning.
• A Master’s degree in Engineering, Mathematics, Computer Science, Physics, or related fields.
• Solid background in linear algebra, calculus, probability theory, and basic machine learning.
Il corso sarà strutturato in quattro moduli principali, ciascuno dei quali copre diversi aspetti dei metodi geometrici e topologici nell’apprendimento automatico e nel deep learning.
Modulo 1: Fondamenti
1. Introduzione alla Geometria e alla Topologia nell’Apprendimento Automatico
• Panoramica della geometria e della topologia
• Importanza nell’apprendimento automatico
• Studi di caso e applicazioni
2. Preliminari
• Geometria differenziale: varietà, spazi tangenti, metriche riemanniane
• Topologia: concetti di base, complessi simpliciali, omologia e coomologia
Modulo 2: Metodi Geometrici nell’Apprendimento Automatico
3. Apprendimento delle Varietà
• Analisi delle componenti principali (PCA)
• Scalatura multidimensionale (MDS)
• Isomap, Embedding Lineare Locale (LLE)
• Applicazioni nella visualizzazione dei dati e nella riduzione della dimensionalità
4. Geometria Riemanniana nell’Apprendimento Automatico
• Varietà riemanniane e metriche
• Geodetiche e mappe esponenziali
• Applicazioni nell’ottimizzazione e negli algoritmi di apprendimento automatico
5. Metodi Basati sui Grafi
• Basi della teoria dei grafi
• Reti neurali basate sui grafi (GNNs)
• Applicazioni nei dati strutturati
Modulo 3: Metodi Topologici nell’Apprendimento Automatico
6. Topologia nelle Reti Neurali
• Proprietà topologiche delle reti neurali
• Architetture di reti neurali ispirate alla topologia
• Stabilità e robustezza delle reti neurali utilizzando metodi topologici
Modulo 4: Argomenti Avanzati e Applicazioni
7. Apprendimento Profondo Geometrico
• Reti neurali convoluzionali (CNNs) e la loro interpretazione geometrica
• Apprendimento profondo geometrico sulle varietà
• Applicazioni nella visione artificiale e nella grafica
8. Regolarizzazione Topologica
• Tecniche di regolarizzazione utilizzando la topologia
• Miglioramento della generalizzazione e della robustezza dei modelli
The course will be structured into four main modules, each covering different aspects of geometric and topological methods in machine learning and deep learning.
Module 1: Foundations
1. Introduction to Geometry and Topology in ML
• Overview of geometry and topology
• Importance in machine learning
• Case studies and applications
2. Mathematical Preliminaries
• Differential geometry: manifolds, tangent spaces, Riemannian metrics
• Topology: basic concepts, simplicial complexes, homology, and cohomology
Module 2: Geometric Methods in Machine Learning
3. Manifold Learning
• Principal component analysis (PCA)
• Multidimensional scaling (MDS)
• Isomap, Locally Linear Embedding (LLE)
• Applications in data visualization and dimensionality reduction
4. Riemannian Geometry in ML
• Riemannian manifolds and metrics
• Geodesics and exponential maps
• Applications in optimization and machine learning algorithms
5. Graph-based Methods
• Graph theory basics
• Graph neural networks (GNNs)
• Applications in structured data
Module 3: Topological Methods in Machine Learning
6. Topology in Neural Networks
• Topological properties of neural networks
• Neural network architectures inspired by topology
• Stability and robustness of neural networks using topological methods
Module 4: Advanced Topics and Applications
7. Geometric Deep Learning
• Convolutional neural networks (CNNs) and their geometric interpretation
• Geometric deep learning on manifolds
• Applications in computer vision and graphics
8. Topological Regularization
• Regularization techniques using topology
• Improving generalization and robustness of models
Modalità mista
Mixed mode
Presentazione orale
Oral presentation
P.D.1-1 - Novembre
P.D.1-1 - November
12/12 - 17/12 - 14/01 - 21/01 -28/01 - 4/2 - 11/2 - 18/2
always 10-13
Always Auletta Seminari @Disma.