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Calculus of Variations
01TJIUR
A.A. 2024/25

Course Language
Inglese

Degree programme(s)

Doctorate Research in Scienze Matematiche - Torino

Course structure

Teaching
Hours

Lezioni
20

Lecturers

Teacher
Status
SSD
h.Les
h.Ex
h.Lab
h.Tut
Years teaching

Lussardi Luca

Professore Associato

MATH-03/A

20

0

0

0

1

Co-lectures

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Context

SSD
CFU
Activities
Area context

*** N/A ***

Statistiche superamento esami

                   Presentazione
Course description
                 
                   Il Calcolo delle Variazioni si occupa delle determinazione dei minimi di funzionali di tipo integrale. Problemi di questo tipo nascono ovunque nelle applicazioni della matematica all'ingegneria, alla fisica, alla biologia, all'economia ecc... In questo corso introduttivo verranno presentati principalmente i cosiddetti metodi diretti del Calcolo delle Variazioni per funzionali integrali classici, sia nel caso scalare sia nel caso vettoriale. Verranno inoltre illustrate applicazioni in svariati ambiti. 

                   The Calculus of Variations studies the determination of minimizers of integral functionals. These type of problems arise everywhere in the applications of mathematics to engineer, physics, biology, economy ecc... In this basic course  the so called direct methods of the Calculus of Variations will be presented for classical integral functionals, both in the scalar and in the vectorial case. Examples and applications will also be investigated. 

                   Prerequisiti
Pre-requirements
                 
                   Analisi funzionale, spazi di Lebesgue e spazi di Sobolev.

                   Functional analysis, Lebesgue spaces and Sobolev spaces.

                   Programma
Course topics
                 
                   Introduzione e metodi classici del Calcolo delle Variazioni, variazione prima, equazioni di Eulero Lagrange, variazione seconda come condizione necessaria, esempi classici, integrale di Dirichlet e principio di Dirichlet. I metodi diretti, semicontinuità inferiore e risultati astratti di esistenza dei minimi. Funzionali integrali per funzioni scalari, caratterizzazione della semicontinuità inferiore, esempi. Funzionali integrali per funzioni vettoriali, caratterizzazione della semicontinuità inferiore, esempi. Funzioni a variazione limitata, funzionali a discontinuità libera, caratterizzazione della semicontinuità inferiore, esempi.

                   Introduction and classical methods in the Calculus of Variations, first variation, Euler Lagrange equations, second variation as a necessary condition, classical examples, Dirichlet integral and Dirichlet principle. The direct methods, lower semicontinuity and abstract existence of minimizers. Integral functionals for scalar functions, characterization of the lower semicontinuity, examples. Integral functionals for vectorial functions, characterization of the lower semicontinuity, examples. Functions of bounded variations, free discontinuity functionals, characterization of the lower semicontinuity, examples.

                   Tipo di erogazione
Tipo di erogazione
                 
                   In presenza

                   On site

                   Modalità d'esame
Modalità d'esame
                 
                   Presentazione orale

                   Oral presentation

                   Periodo Didattico
Periodo Didattico
                 
                   P.D.1-1 - Novembre

                   P.D.1-1 - November

                   Informazioni aggiuntive
Additional information
                 
                   Calendario delle lezioni: 4/11 (15:00-17:00 aula Buzano, DISMA), 5/11 (15:00-18:00 aula Buzano, DISMA), 7/11 (9:00-12:00 aula Buzano, DISMA), 11/11 (15:00-18:00 aula Buzano, DISMA), 13/11 (9:00-12:00 aula Buzano, DISMA), 19/11 (15:00-18:00 aula Buzano, DISMA), 21/11 (9:00-12:00 aula Seminari, DISMA). Eventuali variazioni di calendario potranno essere concordate durante la prima lezione. 

                   Calendar of the lectures: 4/11 (15:00-17:00 aula Buzano, DISMA), 5/11 (15:00-18:00 aula Buzano, DISMA), 7/11 (9:00-12:00 aula Buzano, DISMA), 11/11 (15:00-18:00 aula Buzano, DISMA), 13/11 (9:00-12:00 aula Buzano, DISMA), 19/11 (15:00-18:00 aula Buzano, DISMA), 21/11 (9:00-12:00 aula Seminari, DISMA).  Variations on the schedule will be discussed during the very first lecture.