Il corso è una introduzione ad alcune metodologie di uso generale per il trattamento numerico di problemi alle derivate parziali, che modellizzano fenomeni di interesse ingegneristico. Particolare accento verrà dato al metodo degli elementi finiti, sia nei suoi aspetti matematici sia in quelli implementativi. Verranno trattati anche metodi alle differenze finite in geometrie semplici e metodi di decomposizione del dominio. Alcuni dei risultati più rilevanti dal punto di vista teorico saranno dimostrati con rigore, degli altri verrà fornita una evidenza numerica. Le esercitazioni mirano a addestrare l'allievo allo sviluppo e all'uso di software matematico per la risoluzione di problemi ai limiti alle derivate parziali.

Lo studente deve acquisire la capacità di analizzare problemi ingegneristici e scegliere le metodologie di simulazione più adeguate per il problema da risolvere. In particolare si richiede la capacità di analizzare la buona posizione del problema numerico, le sue proprietà di stabilità, consistenza e convergenza, così come la scelta di una mesh e di un passo temporale adeguati alla soluzione cercata. Lo studente deve acquisire la capacità di applicare gli argomenti matematici visti durante il corso per dimostrare risultati fondamentali simili a quelli visti a lezione. Infine si richiede la capacità di utilizzare strumenti software comuni (Matlab o librerie di pubblico dominio) per realizzare semplici simulazioni.

Nozioni di base di metodi numerici e di programmazione (Matlab o C++ o Python)

- Formulazione variazionale di problemi ai valori al bordo per equazioni alle derivate parziali. Esempi. Metodi di Galerkin e Petrov-Galerkin; lemma di Cea e sue applicazioni; stabilità, consistenza, convergenza. (10h) - Approssimazione di funzioni mediante funzioni polinomiali a tratti; elementi finiti e loro proprietà di approssimazione. (10h) - Il metodo degli elementi finiti nella discretizzazione di problemi ellittici e parabolici. Stime dell'errore a priori e a posteriori. (20h) - Gestione della generazione della griglia e adattatività. Costruzione delle matrici di rigidezza e di massa (20h) - Sistemi algebrici originati da una discretizzazione ad elementi finiti e loro proprietà. (10h) - Formule di derivazione numerica; discretizzazione di problemi ellittici mediante differenze finite in geometrie semplici. - Metodi iterativi di decomposizione del dominio con o senza sovrapposizione. Operatore di Steklov-Poincare’ e complemento di Schur. Precondizionatori scalabili; interazione tra griglia rada e griglie fini. (10h)

Le lezioni in aula esporranno i concetti fondamentali e talvolta mostreranno l'applicazione pratica dei metodi descritti dal punto di vista teorico. Le esercitazioni mirano a addestrare l'allievo all'uso di software matematico (Matlab, C++) per la risoluzione di problemi ai limiti alle derivate parziali.

S. Berrone and C. Canuto, Notes of the lecture course Numerical methods for Partial Differential Equations, 2024 A. Quarteroni, Modellistica Numerica per Problemi Differenziali, Springer-Verlag, 2016 A. Quarteroni and A. Valli, Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer, Berlin 1997.

Dispense; Libro di testo;

Modalità di esame: Prova orale obbligatoria; Elaborato scritto prodotto in gruppo;

Exam: Compulsory oral exam; Group essay;

... L'esame si compone di una prova orale su tutti gli argomenti affrontati durante il corso e di una discussione individuale dei risultati riportati in un elaborato prodotto sulla base dei risultati delle esercitazioni o in un progetto prodotto in gruppo (max 3 persone). L'orale consta generalmente di due domande sulla parte teorica ed una sulla discussione dell'elaborato. Il peso delle domande nella formazione del voto è approssimativamente paritario. La prova d'esame ha una durata compresa approssivamente tra 45 e 60 minuti. Le valutazioni sono espresse in trentesimi e l’esame è superato se la votazione riportata è di almeno 18/30. La valutazione massima è 30 e lode. Durante lo svolgimento dell'esame riguardante le domande teoriche non è consentito tenere e consultare quaderni, libri, fogli con esercizi, formulari. Durante la discussione dell'elaborato o del progetto lo studente può avvalersi dello stesso e dei codici sviluppati per la sua redazione.

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.