Nel settore delle strutture aerospaziali, l’utilizzo di geometrie e laminazioni complesse, oltre che di materiali innovativi quali ad esempio le leghe più recenti, i compositi e i Functionally Graded Material, risulta essere ormai un fattore predominante. Una progettazione efficace di tali elementi non può ormai prescindere dallo sviluppo e utilizzo di modelli strutturali in grado di cogliere i diversi effetti dovuti alla complessità di tali strutture. Il presente insegnamento, dopo aver fornito una visione di insieme sulle varie tecniche numeriche e analitiche 3D, 2D e 1D per l’analisi di strutture multistrato, propone lo studio e l’implementazione di diversi modelli strutturali computazionali per l’analisi del comportamento di strutture tipicamente aerospaziali (strutture metalliche a guscio, a guscio nervato e integrali, e strutture in materiale composito come laminati, sandwich e multistrati contenenti layer in FGM). Il metodo degli elementi finiti e le tecniche che lo hanno generato vengono discussi in dettaglio (in ambito sia statico che dinamico, oltre che lineare e non lineare) allo scopo di apprenderne i fondamenti e di consentire il loro utilizzo nel contesto industriale con cognizione di causa, onde evitarne l’utilizzo a scatola chiusa: comportamento che porta spesso alla creazione di simulazioni errate e all’ottenimento di risultati non corretti. La mancanza di nozioni di base e teoriche idonee, oltre che di appropriati strumenti di supporto, conduce spesso l’utilizzatore dei codici industriali a non riconoscere gli errori commessi nel loro utilizzo. Solide basi in ambito della modellazione numerica e delle tecniche di simulazione delle strutture aerospaziali consentiranno nei successivi corsi di indirizzo, oltre che nell’attività lavorativa post-laurea, un utilizzo appropriato e consono dei principali strumenti industriali e commerciali impiegati per le analisi e le simulazioni di strutture tipicamente aerospaziali. I diversi argomenti proposti verranno trattati in modo coordinato con i successivi insegnamenti di indirizzo, presentando anche numerose applicazioni di carattere pratico.

Alla fine dell'insegnamento, e dopo aver opportunamente sostenuto l’esame finale, gli studenti avranno acquisito conoscenze di base e avanzate sui più raffinati metodi di simulazione e sulle più efficaci tecniche computazionali tipicamente usati nel progetto e nelle verifiche strutturali delle di soluzione più adatte per ciascun tipo di problema strutturale affrontato in campo aerospaziale, soprattutto tra quelli tipici e più rilevanti. principali strutture aerospaziali. Saranno quindi in grado di comprendere quali siano i modelli strutturali computazionali più idonei e le tecniche L'insegnamento contribuisce al conseguimento della capacità, da parte degli studenti, di comprendere al meglio il funzionamento dei classici codici agli elementi finiti di uso commerciale e industriale, in particolare le nozioni teoriche, numeriche e di implementazione che sono alla base del loro funzionamento, al fine di poter sfruttare al meglio (nei corsi successivi e nella vita lavorativa post-laurea) le loro prestazioni conducendo in modo idoneo e consapevole simulazioni strutturali e numeriche corrette per un ampio range di casi (analisi statiche, di frequenze libere, dinamiche, di buckling, non-lineari, termo-elastiche e termo-igro-elastiche di strutture multistrato dalla geometria complessa soggette a vincoli e carichi di varia natura e tipo).

Per seguire in modo efficace l'insegnamento e per apprendere in modo consono le diverse nozioni proposte, ed essere quindi in grado di sviluppare e implementare appropriati modelli strutturali da utilizzare in modo coerente per effettuare opportune analisi statiche e dinamiche su tipiche strutture aerospaziali, gli studenti dovranno conoscere i fondamenti appresi negli insegnamenti di Fondamenti di Meccanica Strutturale e di Costruzioni Aeronautiche della laurea triennale e nell'insegnamento di Strutture Aeronautiche della laurea magistrale. In generale, si richiedono solide basi di analisi matematica e di teoria delle strutture comunemente fornite nei corsi di ingegneria. Nonostante i prerequisiti suggeriti, il docente fornirà durante l'insegnamento, quando necessario, gli opportuni richiami su tutte le nozioni utili per un proficuo apprendimento.

Il programma dell'insegnamento, della durata complessiva di 60 ore, è suddiviso in 40 ore di lezione e in 20 ore di esercitazione in aula. LEZIONI (TOT: 40 ORE) (3 ore) - Presentazione corso e illustrazione regole e procedure di esame. - Presentazione di una nuova generazione di aeromobili e veicoli spaziali prodotti come complesse strutture multistrato innovative. - Strutture multistrato e accoppiamento campi fisici. - Materiali e laminazioni tipiche in ambito aerospaziale. (7.5 ore) - Modellazione 3D, 2D e 1D numerica e analitica: significato generale. - Visione di insieme su teorie plate/shell, problemi tridimensionali, approcci bidimensionali, modelli continui e modelli basati su risultante degli stress, approcci asintotici, approcci assiomatici, formulazioni agli spostamenti, agli strain, agli stress e miste. - Legge di Hooke generalizzata, materiali anisotropi, ortotropi e isotropi. Equazioni costitutive 3D, passaggio da sistema di riferimento materiale a sistema di riferimento struttura. - Effetti e complicazioni derivanti dalle strutture multistrato: anisotropia nel piano e trasversale, effetti zigzag, continuità interlaminare, C0z requirements, condizioni di equilibrio e congruenza. - Teorie classiche 2D, Love First Approximation Theories (LFATs), Love Second Approximation Theories (LSATs), assunzioni di Cauchy-Poisson-Kirchhoff-Love per shell sottili, Classical Lamination Theory (CLT) basata su ipotesi di Kirchhoff, First order Shear Deformation Theory (FSDT) basata su ipotesi di Reissner-Mindlin. - Fenomeno del Poisson locking con possibili strategie e rimedi. - Alcuni esempi di Higher Order Theories (HOTs), teoria del secondo ordine con inestensibilità trasversale, teoria del terzo ordine con inestensibilità trasversale (Vlasov-Reddy Theory). - Equazioni di governo per CLT ed FSDT. - Modelli strutturali ESL vs. LW, teorie zigzag physically based e kinematic based. - Teorie classiche e avanzate 1D, modelli trave e asta. Modello trave di Eulero-Bernoulli a confronto con modello trave di Timoshenko. (7.5 ore) - Equazioni costitutive 3D per problemi multicampo. - Geometria, relazioni geometriche ed equazioni 3D di equilibrio per gusci in coordinate miste curvilinee ortogonali, casi particolari di gusci cilindrici e piastre. - Sviluppo di un modello shell 3D esatto, in coordinate curvilinee ortogonali miste e secondo un approccio multistrato di tipo layer wise, per analisi statiche e di vibrazioni libere di strutture multistrato anisotrope. - Considerazioni su alcuni risultati (analisi statiche e modali) ottenuti con modello shell 3D esatto per piastre e gusci monostrato e multistrato isotropi, compositi, sandwich ed FGM. - Modelli 2D agli spostamenti e modelli 2D misti: PVD vs. RMVT. (4.5 ore) - Analisi igro-termo-elastiche di strutture multistrato, modelli 2D e 3D. Profili di temperatura assunti e calcolati (equazione di conducibilità di Fourier in 1D e 3D). - Profili di umidità assunti e calcolati (equazione di diffusione di Fick in 1D e 3D). Effetti del materiale e dello spessore degli strati sui profili di temperatura e di umidità. Equazioni di Fourier e di Fick in coordinate curvilinee miste ortogonali. - Discussione di alcuni risultati sulla thermal stress analysis di strutture multistrato composite ed FGM. - Thermal stress analysis accoppiata e disaccoppiata: equazioni 2D e 3D, considerazioni e risultati. (9 ore) - Principio dei lavori virtuali: spostamenti e lavori virtuali, lavori virtuali interni ed esterni, energia virtuale degli strain ed energia virtuale complementare degli strain, operatore variazionale e proprietà, definizione di funzionali e lemma fondamentale del calcolo variazionale, operatore variazionale, operatore virtuale, equazioni di Eulero-Lagrange e condizioni al contorno, lavoro virtuale delle forze applicate, lavoro virtuale degli stress, principio di minimo dell'energia potenziale totale, principio di Hamilton, equazioni del moto e principio dei lavori virtuali generalizzato. - Metodi variazionali: introduzione, il metodo di Ritz e weak forms, metodi dei residui pesati e, nello specifico, metodo di Galerkin, metodo di Petrov-Galerkin, metodo dei minimi quadrati e metodo di collocazione. - Equazioni dell'elasticità: equazioni geometriche e di congruenza, equazioni indefinite di equilibrio, equazioni al contorno, equazioni del moto, equazioni costitutive dirette e inverse, stress in termini di spostamenti, sistemi e operatori fondamentali, alcuni esempi di equazioni di elasticità. - Equazioni, teoremi e metodi di soluzione di sistemi discreti: considerazioni preliminari, metodo agli spostamenti, principio dei lavori virtuali e imposizione delle condizioni di equilibrio e congruenza, principio delle forze virtuali, principio degli spostamenti virtuali, equazioni di relazione fra due variabili, il metodo delle forze, lavoro di deformazione ed energia elastica, principi variazionali quali principio di stazionarietà dell''energia potenziale totale e del minimo dell'energia potenziale totale, principio di stazionarietà di Reissner, principio di stazionarietà di Hu-Washizu. - Breve cenno sui principi variazionali duali: principio di stazionarietà dell'energia potenziale duale, principio variazionale duale di Hu-Washizu, principio variazionale duale di Reissner. (9 ore) - Introduzione al metodo degli elementi finiti: considerazioni generali, campo di spostamento, approccio agli spostamenti, discretizzazione della struttura, modello di spostamento. - Matrice di rigidezza dell'elemento finito triangolare: modello di spostamento, funzioni di forma, relazione deformazioni-spostamenti nodali, campo tensionale, matrice di rigidezza dell'elemento, carichi nodali equivalenti. - Matrice di rigidezza dell'elemento finito rettangolare: funzioni di forma e osservazioni. - Elementi finiti di ordine superiore. - Dettagli sull'approccio FEM agli spostamenti. - Applicazioni degli elementi finiti: preliminari, discretizzazione FEM, elemento finito piastra FSDT. - Elemento finito piastra ottenuto tramite il PVD. - Elemento finito shell ottenuto tramite PVD e fenomeni numerici di shear e membrane locking. - Matrici di rigidezza e inerzia strutturale FEM per elemento Q4 Reissner-Mindilin: funzioni di forma e calcolo Jacobiano. - Metodo di integrazione di Gauss (punti e pesi di Gauss, ordine di integrazione). - Matrici di rigidezza e inerzia strutturale FEM per elemento Q4 Reissner-Mindlin: shear locking e rimedi (integrazione ridotta e selettiva, mixed interpolation tensorial component). - Analisi lineare agli elementi finiti di piastre e gusci compositi: riepilogo generale. - Modelli agli elementi finiti per la Classical Lamination Theory: weak forms, approssimazioni spaziali, funzioni di interpolazione di Lagrange per elementi triangolari e rettangolari (Q4, Q9 e Q8 serendipity), funzioni di interpolazione di Hermite, elementi conformi e non conformi, elementi superparametrici, isoparametrici e subparametrici, modello agli elementi finiti semi-discretizzato, modello agli elementi finiti completamente discretizzato, elementi quadrangolari e integrazione numerica, post-processing per gli stress, risultati numerici. - Modelli agli elementi finiti per la First order Shear Deformation Theory: forma debole, modello agli elementi finiti, formulazione con penalty function e shear locking, post-processing per gli stress. ESERCITAZIONI (TOT: 20 ORE) (1.5 ore) - Richiami ed esempi espliciti sulla discretizzazione agli elementi finiti, funzioni di forma, tipo di elemento e nodi, scrittura esplicita delle funzioni di forma, discretizzazione variabili, assemblaggio FEM, assemblaggio multilayer-elemento, assemblaggio elemento-struttura, matrice di connectivity, imposizione condizioni al contorno e di carico, metodo di integrazione di Gauss. (1.5 ore) - Semplice esempio o esercizio per chiarire i concetti di assemblaggio, elementi, nodi, matrice di connectivity, matrice di rigidezza, imposizione di vincoli e carichi, tecnica di penalty, calcolo spostamenti nodali e reazioni vincolari. (1.5 ore) - Esempio o esercizio, di complessità crescente rispetto al precedente, per approfondire i concetti di assemblaggio, elementi, nodi, matrice di connectivity, matrice di rigidezza, imposizione di vincoli e carichi, tecnica di penalty, tecnica di parzializzazione, calcolo spostamenti nodali e reazioni vincolari. (3 ore) - Richiami sui concetti di weak e strong form. Richiami pratici sul metodo di collocazione, metodo dei residui pesati, metodo di Petrov, metodo dei minimi quadrati e metodo di Galerkin. Tracciamento delle soluzioni approssimate e dell'andamento dei residui per i diversi metodi proposti (metodo di Petrov, metodo di Galerkin, metodo dei minimi quadrati e metodo di collocazione) tramite opportune implementazioni in Matlab. (12.5 ore) - Teoria della piastra di Reissner-Mindlin estesa ai multistrato (First order Shear Deformation Theory - FSDT) e sviluppo di un opportuno elemento finito piastra a 5 gradi di libertà per ogni nodo. Implementazione su Matlab di un codice agli elementi finiti (FEM) per l’analisi statica e alle frequenze libere di piastre monostrato e multistrato (isotrope e anisotrope) con diverse geometrie, condizioni di vincolo e condizioni di carico. Validazione dell’elemento FEM implementato tramite opportuni assessment e studio di nuovi benchmark per approfondire diversi concetti esposti a lezione quali, ad esempio, corretta imposizione delle condizioni di carico e di vincolo, anisotropia trasversale e nel piano, effetto zigzag, continuità interlaminare, fenomeno del Poisson locking, problema numerico dello shear locking, effetti aggiuntivi dovuti allo spessore dello strato e al materiale costitutivo, effetti 3D su stress, strain e spostamenti, e così via.

L’insegnamento, della durata complessiva di 60 ore, è suddiviso in 40 ore di lezione e in 20 ore di esercitazione in aula. Le 20 ore di esercitazione saranno suddivise in 5 blocchi principali, non necessariamente uguali fra di loro, con dimensioni diverse in funzione della complessità del problema affrontato. Tali blocchi di esercitazioni saranno opportunamente svolti alla fine dei relativi blocchi di lezione teoriche in modo da approfondire i concetti precedentemente esposti dal punto di vista prettamente teorico e fornire quindi un risvolto pratico. Non ci sarà quindi una singola esercitazione a settimana, ma le esercitazioni verranno svolte ogni qual volta il relativo argomento teorico presentato a lezione sarà ritenuto concluso. Durante le lezioni, verranno comunque sempre svolti esercizi e approfondimenti pratici a supporto delle nozioni teoriche fornite. Le lezioni si svolgeranno con l’ausilio di slide, computer del docente, proiettore e lavagna classica. Le esercitazioni in aula, oltre agli strumenti già menzionati per le lezioni, prevedono anche l’utilizzo dei PC degli studenti (con installata una versione recente di Matlab) al fine di sviluppare e implementare i codici di calcolo strutturale richiesti e i tool numerici necessari. Le 20 ore di esercitazioni porteranno alla stesura di una relazione che verrà opportunamente valutata in sede di esame. Tale esercitazione dovrà contenere, oltre agli appropriati richiami teorici svolti a lezione, gli sviluppi pratici dei modelli e dei tool proposti ad esercitazione, la loro implementazione su Matlab, i principali assessment di validazione e i risultati più significativi per i diversi benchmark che verranno assegnati. L’esame scritto verterà principalmente sugli aspetti teorici visti a lezione ma anche su determinati approfondimenti trattati ad esercitazione.

Durante lo svolgimento dell'insegnamento verranno forniti appunti, dispense e slide da parte dei docenti coinvolti. Tale materiale dovrebbe risultare esaustivo ai fini della comprensione degli argomenti proposti e della preparazione dell’esame finale. Per chi volesse comunque approfondire determinati argomenti del programma, i riferimenti bibliografici consigliati risultano essere i seguenti. Tali riferimenti risultano anche essere la base da cui il docente ha elaborato alcune delle slide e dispense utilizzate a lezione: [1] J.N. Reddy, Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells. Theory and Analysis, Second Edition. CRC Press 2014. [2] J.N. Reddy, Applied Functional Analysis and Variational Methods in Engineering, McGraw-Hill, 1987. [3] O.M. Zienkiewicz, R.L. Taylor, The Finite Element Method, McGraw-Hill, 1994. [4] E. Viola, Fondamenti di Analisi Matriciale delle Strutture, Pitagora Editrice Bologna, 1996. [5] E. Carrera, S. Brischetto and P. Nali, Plates and Shells for Smart Structures. Classical and Advanced Theories for Modeling and Analysis, A John Wiley & Sons, Ltd., Publication, 2011. [6] F. Tornabene and M. Bacciocchi, Anisotropic Doubly-Curved Shells. Higher-Order Strong and Weak Formulations for Arbitrarily Shaped Shell Structures, Società Editrice Esculapio, 2018. [7] F. Tornabene and R. Dimitri, Stabilità dell’Equilibrio Elastico, Società Editrice Esculapio, 2015. [8] S. Brischetto, Classical and Mixed Multilayered Plate/Shell Models for Multifield Problem Analysis, Ph.D. Dissertation, Politecnico di Torino and Université Paris Ouest – Nanterre La Defénse, 2009. [9] S. Brischetto, Innovative Multilayered Structures for a New Generation of Aircraft and Spacecraft, Aeronautics & Aerospace Engineering, 4(1), 1000136, 2014. [10] S. Brischetto, An Exact 3D Solution for Free Vibrations of Multilayered Cross-Ply Composite and Sandwich Plates and Shells, International Journal of Applied Mechanics, 6(6), 1-42, 2014. [11] S. Brischetto, Exact Three-Dimensional Static Analysis of Single- and Multi-Layered Plates and Shells, Composites Part B, 119, 230-252, 2017.

Slides; Dispense; Esercizi; Esercizi risolti; Esercitazioni di laboratorio; Strumenti di simulazione;

Modalità di esame: Prova scritta (in aula); Elaborato progettuale in gruppo;

Exam: Written test; Group project;

... L’esame finale è formato da due parti: - elaborazione e consegna di una relazione su tutte le attività svolte durante le 20 ore di esercitazione; - prova scritta della durata di 60 minuti contenente 20 domande a risposta multipla e 2 domande a risposta aperta. La prima parte dell’esame consiste nella preparazione e consegna di una relazione scritta elaborata in gruppi (da un minimo di 3 a un massimo di 5 studenti) su tutte le attività riguardanti le esercitazioni svolte in aula nelle 20 ore previste. La relazione dovrà contenere gli aspetti teorici principali dei diversi argomenti trattati più i risultati numerici richiesti, in termini di grafici e tabelle, e correlati dai codici Matlab implementati dagli studenti per risolvere i casi proposti. Il docente valuterà la correttezza dei concetti teorici esposti, dei risultati proposti e dei codici Matlab implementati. Concorreranno al voto della relazione anche la completezza, la coerenza, l’impostazione e la veste grafica del lavoro consegnato. Il voto sulla relazione verrà espresso in trentesimi e pesato come 0.5 nel voto medio finale. La relazione in formato pdf dovrà essere consegnata da un solo rappresentante del gruppo mediante caricamento sul portale della didattica alla pagina del corso in questione. La seconda parte dell’esame consiste in una prova scritta (della durata di 60 minuti da svolgere singolarmente e senza l’aiuto di testi, dispense e appunti) su tutti gli argomenti del corso trattati durante le 40 ore di lezione e le 20 di esercitazioni. Lo scritto verrà proposto in aula su supporto cartaceo fornito dal docente. Verrà valutato in trentesimi e pesato come 0.5 nel voto medio finale. Nel dettaglio, le domande a risposta multipla avranno tre opzioni di scelta di cui solo una corretta, la risposta esatta varrà 1 punto mentre quelle errata o non data varrà 0 punti. Il punteggio totale possibile sulle 20 domande a risposta multipla potrà quindi essere pari a 20 punti, al quale sommare un massimo di 5 punti a testa per ognuna delle due domande aperte per un complessivo sulla prova scritta di 30 punti. Le risposte aperte avranno uno spazio predefinito di mezza pagina nel quale rispondere, si potrà trattare di risposte teoriche discorsive o grafiche, piuttosto che di breve dimostrazioni o di singoli passaggi matematici o algebrici all’interno di dimostrazioni ben più complesse, di cui però verranno già dati i dettagli necessari. Il voto finale in trentesimi è calcolato come: voto finale (/30) = 0.5*voto relazione (/30) + 0.5* voto scritto (/30). L’esame risulta superato quando il voto finale è superiore o uguale a 18/30, serve comunque la sufficienza su entrambe le parti proposte. La relazione in formato pdf dovrà essere caricata sul portale durante delle opportune finestre temporali definite a cavallo di una delle date dei 4 appelli successivi alla conclusione del corso (2 appelli a gennaio/febbraio 2025, 1 appello a giugno/luglio 2025 e 1 appello a settembre 2025). Per poter pesare il voto della relazione insieme a quello della prova scritta, quest’ultima dovrà essere sostenuta e superata in uno dei 4 appelli successivi alla conclusione del corso (2 appelli a gennaio/febbraio 2025, 1 appello a giugno/luglio 2025 e 1 appello a settembre 2025). Non esiste comunque un ordine cronologico prestabilito per quanto riguarda le due parti, che potranno quindi essere sostenute nell’ordine desiderato dallo studente.

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.