L'insegnamento si propone di completare la formazione matematica di base, fornendo elementi della teoria delle funzioni di variabile complessa, della teoria delle distribuzioni, delle trasformate di Fourier e Laplace, ed infine della probabilità discreta e continua. Tali argomenti rivestono un ruolo centrale nelle applicazioni ingegneristiche; l'insegnamento sarà corredato da esempi che offriranno spunti per ulteriori approfondimenti.

Al termine dell’insegnamento si chiederà alla studentessa/ allo studente di aver acquisito una serie di concetti matematici di base e di strumenti per risolvere problemi di varia natura che spaziano dall'analisi dei segnali allo studio di fenomeni aleatori. Nello specifico la studentessa/ lo studente dovrà: - avere acquisito le nozioni di base della teoria delle distribuzioni che fornisce un linguaggio generale e flessibile per trattare i segnali di qualunque natura essi siano (impulsivi, discontinui, ecc.): tale teoria è l'ambito naturale per lo studio delle trasformate di Fourier e di Laplace; - aver appreso le tecniche di base per il calcolo delle trasformate e aver acquisito un bagaglio di trasformate fondamentali (delta, treni di delta, funzioni discontinue); - avere acquisito le nozioni di basi della teoria delle funzioni di variabile complessa; quest’ultima offre il linguaggio adeguato per lo studio della trasformata di Laplace e gli strumenti avanzati per l'analisi dei fenomeni singolari e per il calcolo degli integrali; - avere appreso gli strumenti probabilistici necessari per trattare problemi dominati dall'incertezza, tipici dell'analisi di fenomeni non deterministici e del comportamento di variabili in essa coinvolte; - saper valutare la probabilità del verificarsi di eventi e di effettuare previsioni su fenomeni casuali nell'ambito dell'ingegneria elettronica e delle telecomunicazioni.

E' prerequisito necessario una buona dimestichezza con i concetti e gli strumenti matematici presentati nei corsi del I anno; nello specifico, del calcolo differenziale e integrale in una o più variabili.

1. (2,7 CFU) Funzioni di variabile complessa: derivabilità, condizioni di Cauchy-Riemann, integrali su curve. Teorema di Cauchy, formula integrale di Cauchy, sviluppabilità di funzioni analitiche in serie di Taylor e di Laurent. Teorema dei residui, calcolo dei residui e calcolo di integrali con il metodo dei residui. 2. (1,5 CFU) Teoria delle distribuzioni: definizione ed operazioni fondamentali (operazioni algebriche, traslazione, riscalamento, derivazione), distribuzioni delta, v.p. 1/t, treno di impulsi. 3. (1,8 CFU) Trasformata di Fourier e Laplace per funzioni e distribuzioni temperate: definizioni, proprietà, antitrasformate, formula di inversione. Trasformate notevoli. 4. (1,5 CFU) Elementi di calcolo combinatorio, misure di probabilità e relative proprietà elementari. Probabilità condizionata e indipendenza. 5. (1,5 CFU) Variabili casuali discrete e assolutamente continue. Alcuni esempi notevoli. Valori attesi. 6. (1 CFU) Distribuzioni congiunte. Indipendenza e correlazione.

Le esercitazioni seguiranno gli argomenti delle lezioni; in parte saranno svolte alla lavagna dal personale docente, in parte richiederanno la partecipazione attiva degli allievi.

Saranno utilizzate dispense ed esercizi disponibili in rete. Per la parte di probabilità si consiglia il testo: Ross, S. 'Calcolo delle Probabilità', Ed. Apogeo, 2013 (o qualsiasi altra edizione).

Slides; Dispense; Esercizi; Esercizi risolti; Video lezioni tratte da anni precedenti;

E' possibile sostenere l’esame in anticipo rispetto all’acquisizione della frequenza

Modalità di esame: Prova orale facoltativa; Prova scritta in aula tramite PC con l'utilizzo della piattaforma di ateneo;

Exam: Optional oral exam; Computer-based written test in class using POLITO platform;

... L'esame finale è scritto. Una prova orale è opzionale su richiesta dello studente o a discrezione del docente. La durata dell'esame scritto è di 1,5 ore. Durante la prova scritta gli studenti possono utilizzare una calcolatrice, formulari forniti dai docenti, una penna e alcuni fogli bianchi. La prova è costituita da due parti: 1. dieci quiz a risposta multipla, di cui sei di Analisi e quattro di Probabilità; 2. due esercizi, uno di Analisi e uno di Probabilità (ciascuno composto da più domande). Per ogni quiz sono contemplate quattro possibili risposte, una sola delle quali è corretta. Ogni quiz è valutato 1 punto se corretto e 0 punti altrimenti, per un punteggio massimo della parte di quiz pari a 10 punti. L'obiettivo dei quiz a risposta multipla è verificare l'apprendimento dei concetti di base di entrambi i moduli in cui è articolato il corso. Ognuno dei due esercizi è strutturato in una forma guidata che consiste di una serie di domande con possibili risposte VERO o FALSO, ognuna con un suo specifico punteggio e con un'opportuna penalizzazione in caso di risposta errata. In caso di risposta non data, viene attribuito un punteggio uguale a zero. Il punteggio massimo dell'esercizio di Analisi è 13 punti, quello dell'esercizio di Probabilità è 9 punti. Lo scopo degli esercizi della seconda parte è verificare la conoscenza e la capacità di trattare problemi di analisi complessa, distribuzioni, trasformate di Fourier e di Laplace, probabilità, variabili aleatorie e valori attesi. La prova d'esame si considera superata se il punteggio ottenuto è superiore o uguale a 18/30, con almeno 6/30 acquisiti nella parte di Analisi ed almeno 4/30 acquisiti nella parte di Probabilità. Se il punteggio totale è non superiore a 30 esso rappresenta il voto finale espresso in trentesimi. Se il punteggio finale è invece 31 o 32, il voto finale è 30 o 30 e lode rispettivamente. Il docente a sua discrezione ha la facoltà di richiedere una prova orale nel caso in cui sia opportuno un approfondimento per verificare il grado di preparazione dello studente. Solo gli studenti che hanno superato la prova scritta possono chiedere di sostenere anche la prova orale. Se richiesta, la prova orale concorre a determinare il voto finale dell'esame insieme con quella scritta. In particolare, essa può comportare sia l'innalzamento sia abbassamento del voto conseguito allo scritto in base alla prestazione dello studente.

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.