L'obiettivo dell’insegnamento è fornire agli studenti una solida base di conoscenze metodologiche nel calcolo numerico e addestrarli all’uso del software Matlab, affinché siano in grado di risolvere numericamente, con l'ausilio del calcolatore, alcuni problemi che comunemente si presentano nelle applicazioni dell’ingegneria. In particolare, tali conoscenze consentono agli studenti di individuare tra i metodi a loro disposizione quello più efficiente, sia in termini di complessità computazionale che di occupazione di memoria, per la risoluzione di un determinato problema, e di fare un’analisi critica della soluzione ottenuta. Questa capacità è particolarmente importante per gli ingegneri chimici che si troveranno a utilizzare codici commerciali per risolvere problemi complessi, come ad esempio quelli connessi con i processi di trasformazione dei materiali. Infatti, grazie a questo insegnamento, gli studenti acquisiscono le competenze matematiche necessarie per evitare risultati non attendibili o comunque poco accurati, che potrebbero derivare da scelte non adeguate degli algoritmi.

Gli studenti, che avranno seguito con profitto questo insegnamento, saranno in grado di risolvere numericamente i seguenti problemi: risoluzione di sistemi lineari algebrici sparsi e di grandi dimensioni, approssimazione polinomiale algebrica, integrazione numerica, risoluzione numerica di equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali. In particolare, per la risoluzione di questi problemi gli studenti utilizzeranno i metodi numerici di base appresi, implementati nativamente o personalmente in ambiente Matlab e, in base alla conoscenza delle proprietà dei metodi, saranno in grado di fornire un’analisi critica dei risultati ottenuti. Gli studenti acquisiranno inoltre le competenze necessarie per identificare e adottare il metodo più efficiente tra quelli a loro disposizione, al fine di ottenere la soluzione del problema più accurata possibile al minimo costo computazionale.

Si richiede una buona conoscenza degli argomenti trattati negli insegnamenti di Algebra Lineare e Geometria e di Analisi Matematica I e II, e la conoscenza dei principali costrutti sintattici di programmazione e del software Matlab.

Durante l’insegnamento verranno trattati i seguenti argomenti, con il relativo peso in ore. 1. Aritmetica del calcolatore (4 ore). Richiami sui concetti base. Condizionamento di un problema numerico. Stabilità di un algoritmo. 2. Sistemi lineari (12 ore). Richiami sui metodi diretti e sulle fattorizzazioni di matrici. Metodi iterativi: Jacobi, Gauss-Seidel, gradiente e gradiente coniugato. Costruzione dei metodi e risultati di convergenza. Precondizionamento. 3. Approssimazione di funzioni (10 ore). Interpolazione polinomiale di funzioni di una sola variabile reale. Rappresentazione di Lagrange, scelta dei nodi e studio della convergenza. Interpolazione con funzioni polinomiali a tratti (spline): definizione e studio della convergenza, basi a supporto compatto. 4. Equazioni non lineari (10 ore). Metodo delle secanti, delle tangenti, del punto fisso. Costruzione dei metodi e risultati di convergenza. Sistemi di equazioni non lineari: metodo di Newton e sue varianti, metodo del punto fisso. 5. Integrali definiti su intervalli (10 ore). Formule di quadratura di tipo interpolatorio, formule di Newton-Cotes, formule Gaussiane, formule composte. Costruzione delle formule e risultati di convergenza. 6. Equazioni differenziali ordinarie con condizioni iniziali (12 ore). Condizionamento del problema, metodi one-step e multistep. Costruzione dei metodi e risultati di convergenza. Problemi stiff e metodi numerici per la loro risoluzione. 7. Equazioni differenziali ordinarie con condizioni al contorno (10 ore). Metodi delle differenze finite e degli elementi finiti. Costruzione dei metodi e risultati di convergenza. 8. Equazioni differenziali alle derivate parziali (12 ore). Metodi delle differenze finite per equazioni di tipo iperbolico (primo e secondo ordine), parabolico ed ellittico. Costruzione dei metodi e risultati di convergenza. Metodi degli elementi finiti per problemi ellittici con condizioni al contorno di Dirichlet, di Neumann, di Robin e miste. Metodi degli elementi finiti per problemi di trasporto (con termini di diffusione, convezione, reazione) e per problemi iperbolici in 1D e in 2D.

L’insegnamento prevede 40 ore di lezioni in aula, 20 ore di esercitazioni in aula e 20 ore di esercitazioni in laboratorio informatico. Durante le lezioni verranno descritti i principali metodi numerici e le loro caratteristiche. Durante le esercitazioni in aula, verranno affrontati esercizi che contribuiranno a una migliore comprensione della teoria e saranno sviluppati algoritmi di calcolo. Questi algoritmi saranno successivamente implementati in ambiente Matlab durante le esercitazioni in laboratorio e applicati a problemi numerici test. Tale attività consentirà di verificare sperimentalmente le proprietà dei metodi numerici descritti durante le lezioni e, contemporaneamente, fornirà agli studenti un'adeguata formazione nell'uso del software Matlab per la simulazione numerica. Inoltre, alcune esercitazioni avranno un carattere interdisciplinare e saranno concordate con altri docenti del corso di Laurea, offrendo agli studenti l'opportunità di applicare le conoscenze acquisite in contesti multidisciplinari.

Giovanni Monegato, Metodi e Algoritmi per il Calcolo Numerico, CLUT, 2008. Letizia Scuderi, Laboratorio di Calcolo Numerico, CLUT, 2005. Alfio Quarteroni, Modellistica numerica per problemi differenziali, Springer, 2016. Ulteriore materiale (slides, esercizi e tracce di svolgimento, problemi di carattere applicativo) sarà disponibile sul portale della didattica.

Slides; Libro di testo; Libro di esercitazione; Esercizi; Esercizi risolti; Esercitazioni di laboratorio; Esercitazioni di laboratorio risolte; Strumenti di simulazione; Strumenti di auto-valutazione;

Modalità di esame: Test informatizzato in laboratorio; Prova scritta (in aula); Elaborato scritto individuale;

Exam: Computer lab-based test; Written test; Individual essay;

... L'esame è composto da due prove: un test informatizzato e una prova scritta. Il test consiste in 6 domande a risposta multipla che richiedono l'uso del software Matlab per risolvere problemi numerici simili a quelli affrontati durante le lezioni e le esercitazioni. La prova si svolge in laboratorio utilizzando la piattaforma di ateneo e ha una durata indicativa di 70 minuti. Il test è composto da 4 domande da 2 punti ciascuna e 2 domande da 1 punto ciascuna. Ogni mancata risposta vale 0 punti e ogni risposta errata comporta una penalità pari al 20% del punteggio della domanda. Il punteggio massimo ottenibile nel test è di 10 punti. La prova scritta comprende 3 esercizi che includono domande sia di natura pratica che teorica, riguardanti l'intero programma dell'insegnamento. Si svolge in un'aula, successivamente al test e nello stesso giorno, con una durata indicativa di 90 minuti. La prova scritta permette di ottenere un punteggio massimo di 22 punti. Entrambe le prove devono essere svolte senza l’uso di appunti o libri. Per superare l'esame, lo studente deve raggiungere una votazione complessiva pari o superiore a 18. In caso di mancato superamento, lo studente dovrà sostenere nuovamente l’esame con entrambe le prove. I punteggi ottenuti alle prove saranno comunicati tramite il portale della didattica, insieme a una convocazione per eventuali chiarimenti. Gli studenti hanno la possibilità di migliorare la valutazione finale, a condizione che sia pari o superiore a 18, attraverso la realizzazione di un elaborato contenente la descrizione e la risoluzione numerica di un modello matematico che rappresenti un'applicazione nel campo dell'Ingegneria Chimica. L'elaborato costituisce un ulteriore strumento per valutare le competenze acquisite dagli studenti durante il corso e la loro abilità nel risolvere problemi in contesti applicativi nuovi e più ampi rispetto a quelli affrontati durante l'insegnamento. L'elaborato dovrà essere consegnato e discusso prima della conclusione del semestre didattico ed entro una prefissata scadenza temporale. Il massimo punteggio ottenibile con l'elaborato è di 3 punti.

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.