Questo insegnamento vuole fornire una solida introduzione agli strumenti fondamentali della geometria differenziale, con un focus sullo studio locale e globale di curve e superfici immerse nello spazio tridimensionale. Pensato per studenti del corso di laurea in Ingegneria Matematica e affini, il corso coniuga rigore teorico e motivazioni applicative, preparando lo studente all’uso degli strumenti geometrici in contesti sia ingegneristici che scientifici avanzati.

Al termine dell’insegnamento si chiederà allo studente: 1) di essere in grado di padroneggiare linguaggio di base e le tecniche di ragionamento della Geometria Differenziale; 2) di saper calcolare invarianti di base delle curve e delle superfici di uno spazio euclideo, come, ad esempio, curvatura e torsione di una curva, curvatura media e Gaussiana di una superficie; 3) di essere in grado, sulla base delle conoscenze acquisite, di elaborare per iscritto in modo rigoroso, chiaro e logico (tramite definizioni, esempi e dimostrazioni dei risultati principali) gli argomenti trattati durante l'insegnamento.

Conoscenza degli argomenti trattati nell'insegnamento di Analisi Matematica I, Analisi Matematica II e Algebra Lineare e Geometria. Preferibile ma non indispensabile qualche nozione basilare di Topologia.

1) Curve in spazi Euclidei (20 ore) Curve parametrizzate, regolari e bi-regolari: retta tangente e punti di flesso. Parametrizzazione mediante l'ascissa curvilinea. Lunghezza di un arco di curva. Triedro di Frenet, curvatura e torsione. Teorema di esistenza e unicità delle curve bi-regolari con curvatura e torsione assegnate. 2) Superfici in spazi Euclidei (40 ore) Superfici parametrizzate. Superfici regolari e loro spazio tangente. Applicazioni differenziabili e diffeomorfismi. Spazio tangente e differenziale di una funzione. Prima e seconda forma fondamentale di una superficie. Mappa di Gauss e orientabilità. Operatore di forma. Curvatura normale, curvature principali, curvatura media e curvatura di Gauss. Isometrie locali e invarianza isometrica della curvatura di Gauss. Curve geodetiche di una superficie. Integrazione e area di una superficie. Teorema di Gauss-Bonnet.

L'insegnamento consta di 40 ore di lezioni teoriche e 20 di esercitazioni, così ripartite: 40 ore di lezione in aula mirate allo sviluppo della conoscenza: - della nozione di curvatura e torsione di una curva; - della nozione di superficie, dei vari tipi di curvatura che si incontrano nella teoria delle superfici e della geometria intrinseca delle superfici. 20 ore di esercitazione in aula mirate ad applicare le conoscenze acquisite: - nella risoluzione di esercizi anche di carattere teorico; - nella discussione di problemi pratici come l'impiego della teoria degli invarianti nella progettazione. Saranno caricati sul portale della didattica le note delle lezioni, esercizi svolti ed esempi di prove d’esame.

- M. Abate, F. Tovena: Curve e Superfici, Springer - M. P. Do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces - S. Montiel, A. Ros: Curves and Surfaces -Note a cura del docente

Dispense; Esercizi; Esercizi risolti;

E' possibile sostenere l’esame in anticipo rispetto all’acquisizione della frequenza

Modalità di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale facoltativa;

Exam: Written test; Optional oral exam;

... La valutazione è basata su una prova scritta della durata di 1 ora e 45 minuti. La prova scritta è costituita da 6 domande, di cui 3 con valore massimo attribuibile di 5 punti ciascuna e 3 con valore massimo attribuibile di 6 punti ciascuna. Il voto finale è dato dalla somma dei punteggi parziali. L'esame è superato se si raggiunge una votazione complessiva maggiore o uguale a 18. Un punteggio maggiore di 31 comporta l’attribuzione della lode. Durante la prova non sarà possibile la consultazione di materiale didattico. Sarà possibile l'uso di una calcolatrice. E' possibile sostenere una prova orale integrativa, su richiesta dello studente o del docente, che può far variare il voto della prova scritta sia in positivo che in negativo. La prova orale integrativa va sostenuta nell'appello in cui si è sostenuto lo scritto. La prova orale facoltativa verte principalmente sugli aspetti teorici trattati nell'insegnamento quali definizioni, enunciati di proprietà e teoremi e relative dimostrazioni, e richiede una preparazione approfondita. La prova scritta mira a verificare l'acquisizione da parte dello studente delle conoscenze e delle capacità descritte nel campo "Risultati di apprendimento attesi". In particolare mira ad accertare: 1) la capacità di calcolare invarianti delle curve e delle superfici di uno spazio euclideo attraverso esercizi specifici; 2) la capacità di elaborare per iscritto in modo rigoroso, chiaro e logico gli argomenti teorici trattati durante l'insegnamento tramite domande che chiedono la dimostrazione di teoremi e/o la spiegazione dei risultati trattati.

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.