La scelta di un opportuno sistema di riferimento rispetto al quale descrivere un dato fenomeno è uno dei problemi alla base di qualsiasi Scienza Ingegneristica, Fisica e Matematica. Capire come cambia la descrizione di un fenomeno al cambiare del sistema di riferimento e, soprattutto, studiare l'esistenza di quantità (dette invarianti) che non cambiano al cambiare di tale sistema, è essenziale nel percorso formativo di un Ingegnere Matematico, costituendone un bagaglio culturale e professionale di fondamentale importanza. Uno dei principali obiettivi dell'insegnamento è affrontare il suddetto problema tramite l'introduzione e lo studio dei concetti fondamentali della Geometria Differenziale di curve e superfici di uno spazio euclideo, con particolare riguardo alla nozione di invarianza e di curvatura. Accanto agli approfondimenti teorici si dedicherà spazio ad esempi illustrativi che consentiranno allo studente di concretizzare i concetti appresi. Si farà ricorso altresì ad esempi pratici al fine di stimolare la riflessione sul modo in cui la natura obbedisce a precise leggi geometrico-differenziali.

Al termine dell’insegnamento si chiederà allo studente: 1) di essere in grado di padroneggiare oggetti geometrici di base della Geometria Differenziale quali campi vettoriali, forme differenziali, metriche, campi tensoriali e, più in dettaglio, di rappresentare tali oggetti rispetto ad un arbitrario sistema di riferimento; 2) di saper calcolare invarianti di base delle curve e delle superfici di uno spazio euclideo, come, ad esempio, curvatura e torsione di una curva, curvatura media e Gaussiana di una superficie; 3) di essere in grado, sulla base delle conoscenze acquisite, di elaborare per iscritto in modo rigoroso, chiaro e logico (tramite definizioni, esempi e dimostrazioni dei risultati principali) gli argomenti trattati durante l'insegnamento.

Conoscenza degli argomenti trattati nell'insegnamento di Analisi Matematica I, Analisi Matematica II e Algebra Lineare e Geometria. Preferibile ma non indispensabile qualche nozione basilare di Topologia.

1) Curve in spazi Euclidei (20 ore) Curve parametrizzate, regolari e bi-regolari: retta tangente e punti di flesso. Parametrizzazione mediante l'ascissa curvilinea. Lunghezza di un arco di curva. Triedro di Frenet, curvatura e torsione. Teorema di esistenza e unicità delle curve bi-regolari con curvatura e torsione assegnate. 2) Calcolo Tensoriale (20 ore) Spazio tangente e cotangente, differenziale e codifferenziale di una funzione. Cambiamenti di coordinate e loro matrice rappresentativa. Campi vettoriali e loro linee di flusso. Forme differenziali. Metriche. Tensori di tipo (p,q). 3) Superfici in spazi Euclidei (20 ore) Superfici parametrizzate. Superfici regolari e loro spazio tangente. Prima e seconda forma fondamentale di una superficie. Mappa di Gauss. Operatore di forma. Curvature principali, curvatura media e curvatura di Gauss. Invarianza isometrica della curvatura di Gauss. Curve geodetiche di una superficie. Integrazione e area di una superficie. Teorema di Gauss-Bonnet.

L'insegnamento consta di 40 ore di lezioni teoriche e 20 di esercitazioni, così ripartite: 40 ore di lezione in aula mirate allo sviluppo della conoscenza: - della nozione di curvatura e torsione di una curva; - del calcolo tensoriale in aperti di uno spazio euclideo; - della nozione dei vari tipi di curvatura che si incontrano nella teoria delle superfici. 20 ore di esercitazione in aula mirate ad applicare le conoscenze acquisite: - nella risoluzione di esercizi anche di carattere teorico; - nella discussione di problemi pratici come l'impiego della teoria degli invarianti nella progettazione. Saranno caricati sul portale della didattica le note delle lezioni ed esempi di prove d’esame.

- M. Abate, F. Tovena: Curve e Superfici, Springer - M. P. Do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces - S. Montiel, A. Ros: Curves and Surfaces Durante l'insegnamento saranno caricati sul portale della didattica le note delle lezioni

Dispense;

Modalità di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale facoltativa;

Exam: Written test; Optional oral exam;

... La valutazione è basata su una prova scritta della durata di 1 ora e 45 minuti. La prova scritta è costituita da 6 domande, di cui 3 con valore massimo attribuibile di 5 punti ciascuna e 3 con valore massimo attribuibile di 6 punti ciascuna. Il voto finale è dato dalla somma dei punteggi parziali. L'esame è superato se si raggiunge una votazione complessiva maggiore o uguale a 18. Un punteggio maggiore di 31 comporta l’attribuzione della lode. Durante la prova non sarà possibile la consultazione di materiale didattico. Sarà possibile l'uso di una calcolatrice. L'esame orale è a discrezione del docente. L'eventuale esame orale, della durata di 25 minuti circa, non dà punti aggiuntivi al voto della prova scritta e ha la sola finalità di chiarire gli aspetti dell'elaborato che il docente ritiene poco chiari. La prova scritta mira a verificare l'acquisizione da parte dello studente delle conoscenze e delle capacità descritte nel campo "Risultati di apprendimento attesi". In particolare mira ad accertare: 1) la capacità di calcolare invarianti delle curve e delle superfici di uno spazio euclideo attraverso esercizi specifici; 2) la sicurezza acquisita nel padroneggiare la teoria dei campi tensoriali e la sua applicazione tramite domande di carattere teorico ed esercizi relativi; 3) la capacità di elaborare per iscritto in modo rigoroso, chiaro e logico gli argomenti teorici trattati durante l'insegnamento tramite domande che chiedono la dimostrazione di teoremi e/o la spiegazione dei risultati trattati.

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.