L'obiettivo dell’insegnamento è fornire competenze per la costruzione e l'analisi di modelli matematici differenziali. Tali modelli sono sviluppati in termini di equazioni alle derivate ordinarie e parziali, per descrivere sistemi dinamici, fenomeni di trasporto, diffusivi, ed ondulatori. I metodi della Fisica Matematica permettono di derivare soluzioni e analizzare qualitativamente i modelli, evidenziandone proprietà e comportamenti emergenti utili alla comprensione dei fenomeni fisici descritti. Nell’insegnamento, anche in funzione degli interessi degli studenti iscritti, si svilupperanno e analizzeranno modelli di interesse in vari campi dell’ingegneria, quali ad esempio: aerospaziale (instabilità di fluttering, convezione atmosferica, onde d'urto), ambientale (diffusione di un inquinante), biomedica (dinamica delle popolazioni, modelli epidemiologici, di battito cardiaco e di attivazione di segnali neuronali), civile (traffico veicolare, vibrazione della trave, conduzione del calore), informatica ed elettronica (sistemi dinamici di circuiti elettrici, propagazione di un segnale ed equazioni di trasporto, linee di trasmissione ed equazione dei telegrafisti), fisica (modelli per sistemi complessi), gestionale (teoria dei giochi e strategie ottimali), meccanica (pendolo semplice, centrifugo e inverso, orologio meccanico). L’insegnamento è un raccordo naturale tra i corsi di matematica di base e i corsi applicativi con fondamento matematico delle lauree specialistiche.

Lo studente dovrà aver compreso gli argomenti trattati ed essere in grado di analizzare qualitativamente modelli differenziali. In generale, dovrà - avere acquisito una conoscenza dei alcuni dei fondamenti scientifici e metodologici della fisica matematica. - sviluppare la capacità di applicare gli strumenti forniti per risolvere problemi teorici e applicativi, nonché l'abilità di calcolo. - sviluppare autonomia di giudizio e capacità di riconoscere ed utilizzare gli strumenti matematici più adeguati e la loro applicazione alle discipline ingegneristiche.

Analisi I e II.

Modelli matematici alle derivate ordinarie. (30 ore) - Introduzione alla modellistica matematica. - Problemi differenziali lineari e metodi risolutivi. Applicazioni quali ad esempio caduta grave in presenza di viscosità e velocità limite, modelli di dinamica delle popolazioni (modello di Malthus e logistico), circuiti elettrici. - Metodi perturbativi per equazioni differenziali. Perturbazioni regolari e perturbazioni singolari. Metodo di Poincarè e di Lindstedt-Poincarè. Applicazioni ed equazione di Duffing. - Sistemi dinamici non lineari. Configurazioni di equilibrio. Stabilità lineare. Sistemi conservativi e tecniche di stabilità nonlineare. - Punti e diagrammi di biforcazione. Classificazione delle biforcazioni, attrattori, cicli limite e teorema di Hopf. - Modelli a tempo discreto (cenni): mappe iterate, metodo della ragnatela e cascata di biforcazioni. - Applicazioni quali ad esempio pendolo, pendolo centrifugo e pendolo inverso (di Kapitza), orologio meccanico, instabilità di fluttering, line galopping, circuiti elettrici RCL, oscillatore di Van der Pol, modello di attivazione di segnali neuronali (equazioni di FitzHugh-Nagumo), modello di battito cardiaco, modelli di dinamica delle popolazioni (modello di Lotka-Volterra), modelli epidemiologici (SIR e applicazioni COVID), modelli di reazioni chimiche (Brusselator), modello di Lorentz per la convezione atmosferica e cenni di moti caotici. Modelli matematici alle derivate parziali (30 ore). - Classificazione dei modelli matematici alle derivate parziali: equazioni paraboliche, ellittiche ed iperboliche. - Leggi di bilancio e di conservazione. - Equazione di diffusione, derivazione e proprietà della soluzione. Problemi al valore iniziale e al contorno. Metodi risolutivi per problemi lineari e metodo di separazione delle variabili. Esempi e applicazioni (e.g. diffusione inquinante, conduzione del calore). Cenni di equazioni di reazione-diffusione (equazione di Fisher KPP). Derivazione microscopica di modelli diffusivi (cenni). - Problema stazionario. Configurazioni asintotiche e profili stazionari di fenomeni diffusivi. Equazione di Laplace e equazioni ellittiche (profilo membrana o tamburo, flusso attorno ad un cilindro circolare) (cenni). - Equazione del trasporto lineari, formulazione del problema matematico e proprietà. Metodi risolutivi e metodo delle linee caratteristiche. - Equazioni di trasporto nonlineari, onde d’urto e di rarefazione. Esempi ed applicazioni (traffico veicolare). Equazioni di convezione-diffusione (cenni). - Equazione delle onde. Formulazione del problema matematico e proprietà. Soluzione di d’Alambert. Esempi ed applicazioni in domini limitati (corda vibrante e frequenza fondamentale, vibrazione trave, ed equazione dei telegrafisti).

L'insegnamento consiste di 40 ore di lezione e 20 di esercitazione. Le lezioni sono dedicate alla presentazione degli argomenti del programma del corso e per fornire gli strumenti necessari per sviluppare capacità di ragionamento logico-deduttivo da parte dello studente. Ogni argomento teorico trattato nelle lezioni viene arricchito da esempi introduttivi. Le ore di esercitazione sono dedicate allo svolgimento di esercizi, problemi applicativi e temi d’esame. L'insegnamento si tiene in modalità mista e le lezioni erogate in aula sono anche trasmesse in diretta streaming sulla virtual classroom. A termine di ciascuna lezione, gli appunti proiettati e le registrazioni sono resi disponibili sul portale della didattica.

Appunti delle lezioni caricati progressivamente sul portale della didattica. Ulteriori approfondimenti facoltativi: D. Bazzanella, P. Boieri, L. Caire, A. Tabacco, Serie di funzioni e trasformate - teoria ed esercizi, CLUT, 2001 S. Salsa, C. Pagani, Analisi matematica 2, Zanichelli G. Verzini, S. Terracini, D. Ferrario, M. Conti, V. Barutello, Analisi matematica 2, Apogeo. S. J. Farlow, Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Dover (New York). S. Salsa, F. Vegni, A. Zaretti, P. Zunino, Invito alle Equazioni a Derivate Parziali, Springer Italia, 2009. G. Benettin "Appunti per il corso di Fisica Matematica", https://www.math.unipd.it/~benettin/links-mecc/dispense.pdf

Slides; Esercizi; Video lezioni dell’anno corrente;

E' possibile sostenere l’esame in anticipo rispetto all’acquisizione della frequenza

Modalità di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale facoltativa;

Exam: Written test; Optional oral exam;

... L'obiettivo dell'esame è valutare il livello di conoscenza e comprensione degli argomenti trattati nell’insegnamento, e verificare le competenze previste di cui sopra (vedi Risultati dell'apprendimento attesi). L'esame consiste in una prova scritta, composta da 4 esercizi a risposta aperta, finalizzati a verificare la capacità di applicare i metodi e le tecniche apprese per l'analisi qualitativa e la risoluzione di problemi e modelli differenziali, e di un quesito teorico-concettuale (senza dimostrazioni). Il tempo massimo a disposizione è di 120 minuti. Durante lo svolgimento dell'esame non è consentito l'uso di calcolatrici o formulari. Il punteggio massimo ottenibile con l’esame scritto è 30 e Lode. I risultati saranno comunicati attraverso il Portale della Didattica. Qualora lo studente abbia superato lo scritto con un punteggio non inferiore a 18, può facoltativamente richiedere una prova orale aggiuntiva che verterà su argomenti teorici.

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.