Il corso fornisce un'introduzione allo studio dei sistemi dinamici continui (equazioni differenziali ordinarie) e discreti (iterazioni di mappe). Nella prima parte del corso, si dedicherà particolare attenzione allo studio qualitativo delle soluzioni di equazioni e sistemi di equazioni differenziali ordinarie, e all'analisi della stabilità dei punti di equilibrio. Nella seconda parte, ci si concentrerà su temi più avanzati come la presenza di biforcazioni, l'esistenza di cicli limite, il comportamento di sistemi discreti tramite lo studio di mappe e l'applicazione di metodi perturbativi. Assieme alla trattazione teorica, ci si focalizzerà sull'interpretazione fisica e applicativa di ciascun argomento, affiancando le lezioni da esercitazioni al computer, volte a presentare le tecniche e competenze base necessarie per il calcolo simbolico e la visualizzazione geometrica.

Il corso fornirà gli strumenti teorici e applicativi di base per - Studiare la stabilità e la natura di un punto equilibrio, - Studiare qualitativamente le soluzioni di equazioni e sistemi bidimensionali di equazioni differenziali ordinarie, - Studiare la presenza di biforcazioni in sistemi dinamici dipendenti da parametri, - Studiare la presenza di cicli limite e la loro natura, - Studiare alcune mappe discrete - Applicare metodi perturbativi - Produrre argomentazioni e dimostrazioni rigorose su questi temi. L'analisi delle applicazioni dal punto di vista teorico e di calcolo simbolico favorirà tale apprendimento.

Contenuti degli insegnamenti obbligatori di Analisi Matematica, Geometria, Fisica Matematica e Analisi Numerica dei primi due anni della Laurea Triennale.

1) Sistemi di EDO nonlineari: Richiami su teorema di esistenza e unicità locale delle soluzioni del problema di Cauchy, esempi e proprietà base. Soluzioni stabili, asintoticamente stabili e instabili. Integrali primi per sistemi autonomi. Prolungamento delle soluzioni e esistenza globale, teorema di confronto e teorema di esistenza locale. Esempi e esercizi: studio qualitativo delle soluzioni per equazioni di ordine 1 e integrazione esplicita di alcune classi di equazioni. 2) Sistemi di EDO lineari: Principio di sovrapposizione, esistenza e unicità, risoluzione dei sistemi x' = A(t)x + b(t) tramite matrice Wronskiana. Richiami sulla classificazione delle soluzioni per sistemi omogenei a coefficienti costanti e conseguenze. Classificazione del comportamento asintotico delle orbite nel caso di sistemi bidimensionali. 3) Sistemi di EDO nonlineari autonomi: Richiami sul metodo di linearizzazione, esempi e esercizi: studio qualitativo delle orbite nel piano delle fasi per sistemi bidimensionali autonomi. Teorema della varietà centrale, esempi e esercizi. Cenni e richiami sul metodo di Liapunov: principio di invarianza di LaSalle e principio di instabilità di Chetaev. 4) Biforcazioni: Biforcazioni nodo-sella, transcritica, forcone, supercritiche e subcritiche, turning points e cicli di isteresi, biforcazioni con rottura di simmetria, Cusp catastrophe. Possibili applicazioni: pendolo rotante con e senza molla, modello di Duffing. 5) Cicli Limite: Definizione di ciclo limite, teorema di Bendixson, teorema di Hopf, generazione soffice e dura di cicli limite, cicli annidati, raddoppio del periodo, transizione al caos deterministico. Possibili applicazioni: ciclo limite dell'orologio meccanico, equazione di Lienard e Van der Pol. 6) Cambi di coordinate: Cambi di coordinate e coniugazione campi vettoriali, come cambiano i campi e come cambiano le 1-forme differenziali, esempi (coordinate polari e cilindriche). Push forward e pull back di campi vettoriali. Possibili applicazioni a problemi di meccanica. 7) Mappe: Mappa di Poincarè, esponenti di Lyapunov, attrattori e sistemi tempo discreti. Possibili applicazioni: Sistema di Lotka Volterra, pendolo forzato, cenni alla mappa del gatto di Arnol'd, cascata di Feigenbaum. 8) Metodi perturbativi: Metodi perturbativi regolari e singolari. Metodo di Poincarè. Metodo di Lindstedt-Poincarè. Equazione di Duffing. 9) Applicazioni al LAIB. Progetti applicativi: Ogni argomento del corso è affiancato da una consistente attività di laboratorio e di progetto che sarà svolta utilizzando il software WOLFRAM MATHEMATICA. Saranno inoltre previsti alcuni interventi (in lezioni/seminari diversi) di cultori della materia su tematiche ingegneristiche volte anche a proporre problemi che gli studenti possono sviluppare nella loro attività di progetto. Ad esempio si prevedono interventi relativi a Meccanica dei Solidi e della Frattura, Meccanica dei Fluidi e Fluidodinamica ed Ingegneria del Vento Computazionali.

L'insegnamento comprende lezioni ed esercitazioni. Delle 60 ore di lezione 30 saranno dedicate ai punti 1), 2) e 3) del programma e le altre 30 ai punti 4), 5), 6), 7) e 8). Inoltre sono previste attività di laboratorio (20 ore) che saranno svolte utilizzando il software WOLFRAM MATHEMATICA. In tutto il corso, gli studenti saranno incoraggiati al lavoro di gruppo, volto allo sviluppo di elaborati nell'ambito degli argomenti dell'insegnamento con lo scopo di favorire il pensiero critico e creativo. Gli elaborati contribuiranno al voto finale.

C. D. Pagani e S. Salsa, "Analisi Matematica 2", MASSON. Andrea Bacciotti, "Analisi della Stabilità", Quaderno UMI. Steven H. Strogatz, "Nonlinear dynamics and chaos", Addison-Wesley Pub G. Benettin, "Una passeggiata tra i Sistemi Dinamici" https://www.math.unipd.it/~benettin/Galileiana/dispense.pdf Ulteriore Materiale fornito dai docenti

Slides; Dispense; Libro di testo; Libro di esercitazione; Esercizi; Esercitazioni di laboratorio risolte;

Modalità di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale obbligatoria; Elaborato progettuale in gruppo;

Exam: Written test; Compulsory oral exam; Group project;

... L'esame è volto ad accertare la conoscenza degli argomenti elencati nel Programma e la capacità di applicare la teoria ed i suoi metodi alla soluzione di esercizi. Per ogni iscritto l’esame è costituito da una parte scritta e da una successiva parte orale entrambe obbligatorie. L'esame consiste in: - una prova scritta (della durata di 90 minuti) costituita da due parti inerenti agli argomenti presentati durante le lezioni, una riguardante i punti 1, 2, 3 del programma e una sui punti 4, 5, 6, 7, 8 del programma, al fine di valutare le conoscenze apprese durante il corso e le applicazioni di tali conoscenze. Non si potranno usare libri, appunti e qualunque strumento di tipo elettronico. - un elaborato di carattere applicativo che usi le metodologie presentate a lezione per lo sviluppo e lo studio analitico-numerico di specifici modelli matematici su tematica scelta dagli studenti tra quelle proposte. L'elaborato sarà svolto in gruppi di al massimo 3 persone e dovrà essere ben documentato e difeso tramite presentazione orale da tutti i componenti del gruppo. Questo, unitamente ai programmi utilizzati, devono essere consegnati una settimana prima della prova scritta. La presentazione e la difesa dei contenuti del lavoro svolto non potranno durare più di 15 minuti per gruppo. La prova scritta è individuale e ogni parte vale 11 punti per un totale di 22. L’elaborato e la sua difesa valgono invece 10 punti per ciascun iscritto. L'esame si ritiene superato se si raggiunge un punteggio di almeno 6 punti per ciascuna parte della prova scritta e 6 punti per l'elaborato. La lode viene assegnata se il punteggio complessivo è superiore a 30.

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.