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Disuguaglianze geometriche su sottovarietą e applicazioni
01WDQUR
A.A. 2025/26
Lingua dell'insegnamento
Italiano
Corsi di studio
Dottorato di ricerca in Scienze Matematiche - Torino
Organizzazione dell'insegnamento
| Didattica | Ore |
|---|---|
| Lezioni | 24 |
Docenti
| Docente | Qualifica | Settore | h.Lez | h.Es | h.Lab | h.Tut | Anni incarico |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Impera Debora | Professore Associato | MATH-02/B | 12 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Collaboratori
Didattica
| SSD | CFU | Attivita' formative | Ambiti disciplinari | *** N/A *** | 4 |
|---|
Il corso vuole fornire un'introduzione alle disuguaglianze geometriche su sottovarietą immerse in varietą Riemanniane. In particolare, verrą presentata una selezione di risultati sia classici che recenti in quest'ambito, dettagliando alcune delle principali tecniche analitiche e geometriche utilizzate per dimostrarle, con un approccio volto a stimolare il coinvolgimento attivo degli studenti. Parte del corso sarą inoltre dedicata alle applicazioni di tali disuguaglianze a sottovarietą con curvatura media costante (CMC) e minime. Queste due classi fondamentali di sottovarietą sorgono naturalmente come soluzioni a problemi variazionali e sono al centro di numerosi risultati di rigiditą, stabilitą e unicitą.
The course is devoted to presenting an introduction to geometric inequalities on submanifolds immersed in Riemannian manifolds. In particular, it will present a selection of both classical and recent results in the field, detailing some of the key analytical and geometric techniques used to prove them and with an approach aimed at fostering active student engagement. Part of the course will be focused on the applications of these inequalities to constant mean curvature (CMC) and minimal submanifolds. These two fundamental classes of submanifolds naturally arise as solutions to variational problems and are central to numerous results concerning rigidity, stability, and uniqueness.
Nozioni di base (a livello universitario triennale e/o magistrale) di Algebra Lineare, Analisi Matematica, Topologia, Geometria differenziale.
Basic Notions (at university level bachelor/master) of Linear Algebra, Mathematical Analysis, Topology, Differential Geometry
1. Preliminari di geometria differenziale e geometria delle sottovarietą.
2. Disuguaglianze isoperimetriche
- Disuguaglianza isoperimetrica per domini dello spazio Euclideo: panoramica e presentazione della dimostrazione tramite il metodo ABP.
- Disuguaglianza isoperimetrica per sottovarietą dello spazio Euclideo e ottimalitą nel caso minimo
- Relazioni tra disuguaglianza isoperimetrica e disuguaglianze di Sobolev
- Dimostrazione tramite il metodo ABP.
3. Applicazioni geometriche delle disuguaglianze isoperimetriche nel contesto delle ipersuperfici minime e in problemi di capillaritą.
4. Disuguaglianze di Heintze-Karcher e di Minkowski:
- Formula di Reilly e dimostrazione classica della disuguaglianza di Heintze-Karcher;
- Dimostrazione alternativa della disuguaglianza di Heintze-Karcher con il metodo ABP;
- Dimostrazione della disuguaglianza di Minkowski per domini convessi con il metodo ABP;
- Discussione della validitą della disuguaglianza di Minkowski per domini generici.
5. Applicazioni geometriche delle disuguaglianze di Heintze-Karcher e Minkowski nel contesto di ipersuperfici a curvatura media costante.
1. Preliminaries of Differential Geometry and Geometry of Submanifolds.
2. Isoperimetric Inequalities
-Isoperimetric inequality for domains in Euclidean space: overview and proof via the ABP method.
-Isoperimetric inequality for submanifolds in Euclidean space and optimality in the minimal case.
-Relationships between the isoperimetric inequality and Sobolev inequalities.
-Proof via the ABP method.
3. Geometric Applications of Isoperimetric Inequalities in the context of minimal hypersurfaces and capillarity problems.
4. Heintze-Karcher and Minkowski Inequalities
- Reilly's formula and classical proof of the Heintze-Karcher inequality.
- Alternative proof of the Heintze-Karcher inequality using the ABP method.
- Proof of the Minkowski inequality for convex domains via the ABP method.
- Discussion of the validity of the Minkowski inequality for general domains.
5. Geometric Applications of Heintze-Karcher and Minkowski Inequalities in the context of constant mean curvature hypersurfaces.
In presenza
On site
Presentazione orale
Oral presentation
P.D.2-2 - Marzo
P.D.2-2 - March
A seconda della composizione del pubblico, le lezioni potranno essere svolte in inglese.
Depending on the composition of the audience, the lectures may be conducted in English.