L'approccio analitico funzionale non sempre è sufficiente nel trattamento di molti problemi differenziali, e un'analisi dettagliata delle proprietà delle funzioni si rivela uno strumento indispensabile. Il corso si propone di introdurre gli elementi fondamentali di Analisi Reale necessari a tale scopo: misure di Stieltjes, funzioni vettoriali assolutamente continue, e funzioni vettoriali a variazione limitata in una variabile [1,2,3], argomenti ben radicati nella tradizione matematica italiana, ma a volte trascurati negli odierni corsi di laurea e dottorato e che vanno a fornire un minimo completamento dellle conoscenze di Analisi Reale già acquisite precedentemente. Ci si propone poi, dopo alcuni cenni al caso vettoriale e metrico, di mostrare alcune applicazioni a problemi variazionali d'evoluzione “rate independent” che sorgono in elastoplaticità [4], come ad esempio gli “sweeping processes” di Moreau [5,6,7,8,9,10,11,12], che hanno trovato applicazioni recenti anche nella modellizzazione di movimenti di folle e dei circuiti elettrici [13,14]. N.B.: Parti del programma possono essere modificate in base alle esigenze degli studenti. [1] R.F. Gariepy, W.P. Ziemer, Modern Real Analysis, Brooks/Cole Pub Co (1995). [2] G.B. Folland, Real Analysis, Wiley (1999). [3] W. Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw Hill (1987). [4] A. Mielke,T. Roubícek, Rate-Independent Systems, Springer (2015). [5] J.J. Moreau, Evolution problem associated with a moving convex set in a Hilbert space, J. Differential Equations 26 (1977), 347-374. [6] V. Recupero, BV solutions of rate independent variational inequalities, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sc. (5) 10 (2011), 269-315. [7] V. Recupero, A continuity method for sweeping processes, J. Differential Equations 251 (2011), 2125-2142. [8] V. Recupero, BV continuous sweeping processes, J. Differential Equations 259 (2015), 4253-4272. [9] J. Kopfova, V. Recupero, BV-norm continuity of sweeping processes driven by a set with constant shape, J. Differential Equations 261 (2016), 5875-5899. [10] V. Recupero, Sweeping processes and rate independence, J. Convex Anal., Special volume dedicated to the memory of Jean Jacques Moreau, 23 (2016), 921-946. [11] V. Recupero, Prox-regular sweeping processes with bounded retraction, J. Convex Anal., issue in honor of R.T. Rockafellar , 32(3) (2025), 731-756. [12] V. Recupero, F. Stra, Perturbed prox-regular sweeping processes with truncated bounded retraction, in preparation. [13] B. Maury, J. Venel, A mathematical framework for a crowd motion model, C. R. Math. Acad. Sci. Paris 346 (2008), 1245-1250. [14] K. Addy, S. Adly, B. Brogliato, D. Goeleven, A method using the approach of Moreau and Panagiotopoulos for the mathematical formulation of non-regular circuits in electronics, Nonlinear Anal. Hybrid Syst. 1 (2007), 30-43.

Analisi reale e funzionale di base.

Richiami di teoria della misura e misure di Stieltjes. Funzioni vettoriali assolutamente continue e a variazione limitata di una variabile reale. Cenni su funzioni BV a valori in spazi metrici. Applicazioni a problemi variazionali d'evoluzione rate independent e agli “sweeping processes". N.B: Parti del programma possono essere modificate in base alle esigenze degli studenti.

Modalità mista

Presentazione report scritto - Presentazione orale

P.D.1-1 - Novembre