I processi stocastici vengono utilizzati come modelli matematici negli scenari più disparati, dalla biologia alla finanza, dalla gestione di magazzino allo studio del traffico su internet, dalla medicina alla blockchain, dalla meteorologia all'ecologia. Questo corso, pur non potendo entrare nel dettaglio delle varie applicazioni, si pone l'obiettivo di fornire un'introduzione rigorosa alla teoria dei processi stocastici, con lo scopo di fornire le basi matematiche per la comprensione, la progettazione e l'analisi di tali modelli. Verranno definite ed esplorate formalmente le principali classi di processi stocastici, tra cui i processi di conteggio, i processi di Poisson, le catene di Markov, le martingale e il moto Browniano. Attraverso lo studio delle loro proprietà fondamentali, gli studenti acquisiranno sia una comprensione teorica che strumenti pratici per costruire e analizzare modelli di sistemi dinamici aleatori.

Al termine dell’insegnamento si chiederà allo studente di: - conoscere le definizioni di processi di conteggio, processi di Poisson omogenei e non omogenei, catene di Markov a tempo discreto e continuo, martingale, moto browniano. - conoscere le definizioni dei principali oggetti matematici associati ai processi stocastici elencati sopra, quali tempi di arresto, distribuzioni stazionarie, probabilita' di transizione, classificazione degli stati, etc; - conoscere gli enunciati dei teoremi base della teoria dei processi stocastici e comprenderne il significato; - conoscere le dimostrazioni di alcuni teoremi base della teoria dei processi stocastici e comprenderne i passaggi; - comprendere le modalità di sviluppo della teoria dei processi stocastici e relazionarla alle esigenze applicative: perché è stato enunciato un certo teorema? Come puo essere applicato ad un modello matematico concreto? - applicare la teoria base dei processi stocastici per risolvere esercizi; - applicare la teoria base dei processi stocastici in maniera critica per costruire, analizzare e confrontare modelli matematici di dinamiche aleatorie; - saper dimostrare in autonomia nuovi risultati pertinenti la teoria dei processi stocastici, ed essere eventualmente in grado di contribuire al suo sviluppo.

- concetti base di algebra lineare; - concetti base di analisi (serie convergenti e divergenti, calcolo di integrali semplici e multipli, teoremi di scambio di limiti quali il teorema di convergenza monotona, i teoremi di Fubini e di Tonelli, il teorema di convergenza dominata, il lemma di Fatou); - concetti base di teoria della probabilità che includano il concetto di sigma-algebra e di misura di probabilità, il concetto di variabile aleatoria, il concetto di media e varianza, le diverse tipologie di convergenza delle variabili aleatorie, la legge dei grandi numeri (debole e forte), il teorema del limite centrale; - concetti base dello studio di dipendenza fra variabili aletorie che includano il concetto di distribuzione e densità condizionata, il concetto di valore atteso condizionato data una sigma-algebra (cioè il valore atteso condizionato visto come variabile aleatoria) e le sue proprietà base.

- Definizione di processi stocastici e loro principali caratterizzazioni e proprietà. - Processi di conteggio e renewal. - Processi di Poisson: definizioni equivalenti, risultati notevoli, processi di Poisson non omogenei. - Catene di Markov a tempo discreto e loro proprietà, matrici di transizione, equazioni di Chapman-Kolmogorov, classificazione degli stati, convergenza in distribuzione e teorema ergodico per catene irriducibili, esistenza e unicità di distribuzioni stazionarie, connessioni fra i tempi medi di ritorno e la distribuzione stazionaria. - Catene di Markov a tempo continuo e loro rappresentazioni, equazioni di Kolmogorov, distribuzioni stazionarie ed equazioni di bilancio. - Esempi notevoli: catene reversibili e catene di nascita e morte, elementi di teoria delle code, reti di Jackson. - Martingale e le loro proprietà, teorema di decomposizione di Doob, teoremi di arresto di Doob, teoremi di convergenza di Doob, disuguaglianza di Azuma-Hoeffding, esempi di applicazioni. - Moto Browniano (o processo di Wiener): definizione e risultati base.

L’insegnamento rientra nell’a.a. 2025/26 nella sperimentazione didattica per l’attivazione di un Nuovo Modello Formativo; gli studenti riceveranno informazioni dettagliate nella prima lezione dell’insegnamento

In the academic year 2025/26, the course will be part of the teaching experiment for the implementation of a New Educational Model; students will receive detailed information during the first lesson of the course.

Si consiglia di studiare il materiale del corso tramite slide con note rilasciate dal docente, e videoregistrazioni delle lezioni. Come ulteriore spunto per lo studio della materia si consigliano i seguenti libri, che pero' non verranno seguiti fedelmente dal docente e la cui lettura non è obbligatoria: - R. Durrett, "Essentials of Stochastic Processes", Springer, 2021 (online available). - D. A. Levin, Y. Peres, E. L. Wilmer, "Markov chains and mixing times", AMS, 2008 (online available). - S.M. Ross, "Introduction to Probability Models", Elsevier, 2010. - J.M. Steele "Stochastic Calculus and Financial Applications", Springer, 2000.

Slides; Esercizi; Video lezioni dell’anno corrente; Strumenti di auto-valutazione; Strumenti di collaborazione tra studenti;

Modalità di esame: Prova orale obbligatoria; Elaborato scritto individuale; Elaborato progettuale in gruppo;

Exam: Compulsory oral exam; Individual essay; Group project;

... - È prevista una prova orale obbligatoria. Durante la prova, il candidato dovrà discutere un argomento teorico trattato nel corso, con relative applicazioni. Verranno valutati i seguenti aspetti: . la conoscenza di definizioni e teoremi, incluse le relative dimostrazioni; . la comprensione della teoria; . la capacità di applicare la teoria in esercizi pratici o teorici; . la capacità espositiva e di presentazione. L'argomento principale dell'esame sarà scelto dalla commissione e comunicato al candidato, il quale avrà a disposizione 30 minuti per prepararsi. Durante questo tempo sarà possibile consultare libri e appunti. Al termine della prova orale verrà assegnato un punteggio massimo di 31 (equivalente a 30 e lode). - Oltre alla prova orale obbligatoria, lo studente può partecipare, in maniera facoltativa, alla seguente attività: . Ogni settimana, lo studente risponderà in autonomia a dei quiz pubblicati sulla pagina Moodle del corso. A settimane alterne, i quiz saranno preparati: > una volta dal docente, > una volta dagli studenti stessi (secondo le modalità indicate nel punto successivo). . Ogni due settimane, gli studenti lavoreranno in gruppo per un'ora e mezza per preparare i quiz basati sui contenuti del corso. Gli studenti che risponderanno ad almeno il 90% dei quiz settimanali e parteciperanno ad almeno il 70% delle attività di gruppo riceveranno un punto bonus, che verrà aggiunto al punteggio ottenuto nella prova orale.

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.