L'insegnamento si propone di completare la formazione matematica di base, fornendo elementi della teoria delle funzioni di variabile complessa, della teoria delle distribuzioni, delle trasformate di Fourier e Laplace, della teoria della misura e dell’integrazione secondo Lebesgue e della teoria probabilistica presentata in maniera formale e rigorosa. Tali argomenti rivestono un ruolo centrale nelle applicazioni ingegneristiche; l'insegnamento sarà corredato da molti esempi che offriranno spunti per ulteriori approfondimenti.

a) Conoscenza e capacità di comprensione Le studentesse e gli studenti acquisiscono una serie di concetti matematici di base e di strumenti per risolvere problemi di varia natura che spaziano dall'analisi dei segnali allo studio di fenomeni aleatori. La teoria delle distribuzioni fornisce un linguaggio generale e flessibile per trattare i segnali: tale teoria è l'ambito naturale per lo studio delle trasformate di Fourier e di Laplace. Vengono apprese le tecniche di base per il calcolo delle trasformate e acquisisce un bagaglio di trasformate fondamentali (delta, treni di delta, funzioni discontinue). La teoria delle funzioni di variabile complessa offre il linguaggio adeguato per lo studio della trasformata di Laplace e gli strumenti avanzati per l'analisi dei fenomeni singolari e per il calcolo degli integrali. Inoltre, vengono appresi i concetti di base della teoria della misura, quali spazi di misura e funzioni misurabili, e dell’integrazione secondo Lebesgue, che con i teoremi di convergenza monotona e dominata fornisce un potente strumento da utilizzare nei corsi a venire. Vengono infine acquisiti gli strumenti probabilistici necessari per trattare problemi dominati dall'incertezza, tipici dell'analisi di fenomeni non deterministici e del comportamento di variabili in essa coinvolte, e interiorizza lo stretto legame che intercorre tra il calcolo delle probabilità e la teoria della misura astratta. b) Capacità di applicare conoscenza e comprensione Al termine dell'insegnamento le studentesse e gli studenti potranno applicare le tecniche analitiche necessarie per l'analisi dei segnali di qualunque natura essi siano (impulsivi, discontinui, ecc.). Saranno inoltre in grado di valutare la probabilità del verificarsi di eventi e di effettuare previsioni su fenomeni casuali in ambito ingegneristico. La capacità di applicare le conoscenze acquisite sarà verificata mediante discussioni ed esercitazioni in aula.

E' prerequisito necessario una buona dimestichezza con i concetti e gli strumenti matematici presentati nei corsi del I e del II anno; nello specifico, del calcolo differenziale e integrale in una o più variabili.

1. (27 ore) Funzioni di variabile complessa: derivabilità, condizioni di Cauchy-Riemann, integrali su curve. Teorema di Cauchy, formula integrale di Cauchy, sviluppabilità di funzioni analitiche in serie di Taylor e di Laurent. Teorema dei residui, calcolo dei residui e calcolo di integrali con il metodo dei residui. 2. (15 ore) Teoria delle distribuzioni: definizione ed operazioni fondamentali (operazioni algebriche, traslazione, riscalamento, derivazione), distribuzioni delta, v.p. 1/t, treno di impulsi. Prodotto di convoluzione per funzioni e distribuzioni. 3. (18 ore) Trasformata di Fourier e Laplace per funzioni e distribuzioni temperate: definizioni, proprietà, antitrasformate, formula di inversione. Trasformate notevoli. 4. (18 ore) Teoria della misura: spazi di misura e funzioni misurabili. Misura immagine. Integrazione secondo Lebesgue. Teoremi di convergenza monotona e dominata. Misure assolutamente continue. Teorema di Radon-Nikodym. 5. (22 ore) Calcolo delle probabilità: Spazi di probabilità. Spazi finiti e uniformi. Probabilità condizionata e indipendenza di eventi. Variabili aleatorie discrete e assolutamente continue e loro momenti. Esempi notevoli.

Le esercitazioni seguiranno gli argomenti delle lezioni; in parte saranno svolte alla lavagna o su tablet dal personale docente, in parte richiederanno la partecipazione degli allievi.

Per l’intero corso saranno utilizzate dispense ed esercizi disponibili in rete. Per la parte di probabilità si suggeriscono i testi (le edizioni sono solo indicative) P. Cannarsa, T. D'Aprile - Introduzione alla teoria della misura e all'analisi funzionale – Springer Verlag (2008) G.B. Folland - Real Analysis: Modern Techniques and their Applications - John Wiley & Sons (1999) J. Jacod, P. Protter - Probability Essentials - Springer Verlag (2004) P.Baldi - Calcolo delle Probabilità - McGraw-Hill (2011) S.M. Ross – Calcolo delle Probabilità - Apogeo (2013)

Slides; Dispense; Libro di testo; Esercizi; Video lezioni tratte da anni precedenti;

Modalità di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale facoltativa;

Exam: Written test; Optional oral exam;

... L'esame finale è scritto. La durata dell'esame scritto è di due ore. Durante la prova scritta gli studenti possono utilizzare solo una calcolatrice e dei formulari forniti dai docenti. La prova scritta è costituita da due parti: 1. dieci quiz a risposta multipla, di cui sei di analisi e quattro di calcolo delle probabilità; 2. due esercizi, uno di analisi e uno di calcolo delle probabilità, ciascuno composto da più domande. Per ogni quiz ci sono quattro possibili risposte, una sola delle quali è corretta. L'obiettivo dei quiz a risposta multipla è verificare l'apprendimento dei concetti di base di entrambi i moduli in cui è articolato il corso. Ogni quiz è valutato 1 punto se corretto e 0 punti altrimenti, così che il punteggio massimo della parte quiz è pari a 10 punti. Lo scopo degli esercizi della seconda parte è verificare la conoscenza e la capacità di trattare problemi di analisi complessa, distribuzioni, trasformate di Fourier e di Laplace, probabilità, variabili aleatorie e valori attesi. Il punteggio massimo dell'esercizio di analisi è 13 punti, quello dell'esercizio di calcolo delle probabilità è 9 punti. La prova scritta si considera superata se il suo risultato è superiore o uguale a 18/30, con almeno 4/30 acquisiti nella parte di probabilità ed almeno 6/30 acquisiti nella parte di analisi. Se il punteggio totale è non superiore a 30 esso rappresenta il voto finale espresso in trentesimi. Se è 31 o 32, il voto finale è 30 o 30 e lode rispettivamente. Il docente, a sua discrezione, ha la facoltà di richiedere una prova orale nel caso in cui sia opportuno un approfondimento per verificare il grado di preparazione dello studente. La prova orale concorre a determinare il voto finale dell'esame insieme con quella scritta. In particolare, essa può comportare sia l'innalzamento sia l'abbassamento del voto conseguito allo scritto in base alla prestazione dello studente.

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.