L'insegnamento si propone di completare la formazione matematica di base, fornendo elementi della teoria delle funzioni di variabile complessa, della teoria delle distribuzioni, della teoria delle trasformate di Fourier e Laplace, della teoria della misura e dell’integrazione secondo Lebesgue e della teoria probabilistica presentata in maniera formale e rigorosa. Tali argomenti rivestono un ruolo centrale nelle applicazioni ingegneristiche. L'insegnamento è, inoltre, corredato da molti esempi che offrono spunti per ulteriori approfondimenti.

Comprensione degli argomenti trattati e abilità di calcolo nell'utilizzo dei relativi strumenti matematici introdotti. Capacità di riconoscere ed utilizzare adeguati strumenti matematici nelle discipline ingegneristiche. Capacità di costruire un percorso logico utilizzando gli strumenti introdotti.

Conoscenza dei concetti e gli strumenti matematici presentati negli insegnamenti del I anno e del I semestre del II anno del Corso di Laurea in Matematica Per L'Ingegneria. In particolare: calcolo differenziale e integrale in una e più variabili, algebra lineare, geometria delle curve, topologia e metrica.

1. (30 ore) Funzioni di variabile complessa: derivabilità, funzioni olomorfe (o analitiche), condizioni di Cauchy-Riemann, integrali curvilinei in campo complesso. Teorema di Cauchy-Goursat, formula integrale di Cauchy, Serie di Taylor e di Laurent e conseguenze. Teorema dei residui, calcolo dei residui e calcolo di integrali con il metodo dei residui. 2. (12 ore) Teoria delle distribuzioni: definizione, operazioni fondamentali e distribuzioni notevoli. Derivata distribuzionale. Convergenza nel senso delle distribuzioni. Supporto di una distribuzione. Prodotto di convoluzione per funzioni e distribuzioni. 3. (18 ore) Trasformate di Fourier e Laplace per funzioni e distribuzioni: definizioni, proprietà, antitrasformate e formule di inversione. Trasformate notevoli. 4. (18 ore) Teoria della misura: spazi di misura e funzioni misurabili. Misura immagine. Integrazione secondo Lebesgue. Teoremi di convergenza monotona e dominata. Misure assolutamente continue. Teorema di Radon-Nikodym. 5. (22 ore) Calcolo delle probabilità: Spazi di probabilità. Spazi finiti e uniformi. Probabilità condizionata e indipendenza di eventi. Variabili aleatorie discrete e assolutamente continue e loro momenti. Esempi notevoli.

L'insegnamento si articola in due moduli: uno di Analisi Matematica (60 ore) e uno di Probabilità (40 ore). Il modulo di Analisi Matematica è a sua volta suddiviso in 40 ore di lezione e 20 ore di esercitazione. Per quanto riguarda il modulo di Analisi Matematica, le lezioni sono dedicate alla presentazione degli argomenti del programma dell'insegnamento con definizioni, proprietà, teoremi ed alcune dimostrazioni ritenute utili per una migliore comprensione degli argomenti e per fornire gli strumenti necessari per sviluppare capacità di ragionamento logico-deduttivo da parte dello studente. Ogni argomento teorico trattato nelle lezioni viene arricchito da esempi introduttivi. Le ore di esercitazione sono, invece, dedicate esclusivamente allo svolgimento di esercizi e di temi d’esame, allo scopo principale di preparare lo studente per affrontare l'esame. Per quanto riguarda il modulo di Probabilità, gli strumenti utilizzati e le finalità sono esattamente le stesse descritte in precedenza, ma senza una distinzione formale tra i momenti maggiormente dedicati alla teoria e quelli maggiormente dedicati agli esercizi.

Il materiale principale è costituito dagli appunti delle lezioni e delle esercitazioni forniti dai docenti, da dispense e da esercizi disponibili in rete. Inoltre, per il modulo di Probabilità si suggeriscono i seguenti testi (che NON vanno intesi come manuali dell'insegnamento, dato che non sono seguiti dal docente, ma come materiale di supporto per eventuali approfondimenti): - P. Cannarsa, T. D'Aprile - Introduzione alla teoria della misura e all'analisi funzionale – Springer Verlag (2008) - G. B. Folland - Real Analysis: Modern Techniques and their Applications - John Wiley & Sons (1999) - J. Jacod, P. Protter - Probability Essentials - Springer Verlag (2004) - P. Baldi - Calcolo delle Probabilità - McGraw-Hill (2011) - S. M. Ross – Calcolo delle Probabilità - Apogeo (2013) Infine, per il Modulo di Analisi si menzionano i seguenti testi, da intendersi SOLO ED ESCLUSIVAMENTE come un riferimento culturale e per eventuali approfondimenti (si tratta, infatti, di testi classici, ma molto avanzati, che vanno di gran lunga oltre gli scopi dell'insegnamento e non sono utilizzati dal docente per gli argomenti in programma): - W. Rudin - Real and Complex Analysis - McGraw Hill (third edition - 1987) - T. Needham - Visual Complex Analysis - Oxford University Press (1997) - L. V. Ahlfors - Complex Analysis - McGraw Hill (1979) - T. W. Gamelin - Complex Analysis - Springer-Verlag (2001) - D- Mitrea - Distributions, Partial Differential Equations, and Harmonic Analysis - Springer (2013) - L. Hormander - The Analysis of partial differential operators I - Springer-Verlag (second edition - 1989) - S. Kesavan - Topics in Functional Analysis and Applications - New Age International (P) Limited, Publishers (1989)

Slides; Dispense; Libro di testo; Esercizi; Esercizi risolti; Video lezioni tratte da anni precedenti;

E' possibile sostenere l’esame in anticipo rispetto all’acquisizione della frequenza

Modalità di esame: Prova scritta (in aula); Prova orale facoltativa;

Exam: Written test; Optional oral exam;

... L’esame è volto ad accertare la conoscenza degli argomenti elencati nel programma dell'insegnamento e la capacità di applicare la teoria ed i relativi metodi di calcolo alla soluzione di esercizi. Le valutazioni sono espresse in trentesimi. L'esame consiste in una PROVA SCRITTA (OBBLIGATORIA) ed in una prova orale (a richiesta dei docenti o della/dello studente), verte sugli argomenti contenuti nel programma dell'insegnamento ed ha lo scopo di verificare il livello di conoscenza e di comprensione degli argomenti trattati. In particolare, la prova scritta si pone l’obiettivo di verificare le competenze di cui sopra (cfr. Risultati dell’apprendimento attesi): essa, infatti, comprende sia esercizi di calcolo, che richiedono la necessità di scegliere ed applicare lo strumento matematico più adeguato per la sua risoluzione, sia quesiti di tipo teorico, che richiedono la capacità da parte dello studente di costruire un concatenamento logico, applicando in sequenza risultati teorici visti a lezione. La prova scritta è costituita da due parti: 1. QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA: dieci quiz, di cui sei di Analisi Matematica e quattro di Probabilità; 2. QUESITI A RISPOSTA APERTA: uno o due quesiti composti, a loro volta, da più domande sia per la parte di Analisi Matematica che per quella di Probabilità.. Per quanto riguarda i quiz, ognuno presenta quattro possibili risposte, una sola delle quali è corretta. Ogni quiz è valutato 1 punto se corretto e 0 punti altrimenti, così che il punteggio massimo della parte quiz è pari a 10 punti. I quiz possono essere sia teorici che di calcolo. Per quanto riguarda i quesiti a risposta aperta, il punteggio totale è di 13 punti per la parte di Analisi Matematica e 9 punti per quella di Probabilità, per un totale di 22 punti. I quesiti a risposta aperta possono contenere sia domande teoriche che esercizi di calcolo. La durata della prova scritta è di due ore (120 minuti). La prova scritta si considera superata se il suo risultato è maggiore o uguale a 18/30, con almeno 6 punti acquisiti nella parte di Analisi Matematica (6 quiz+quesiti aperti per un massimo di 19 punti) ed almeno 4 punti acquisiti nella parte di Probabilità (4 quiz+quesiti aperti per un massimo di 13 punti) . Se il punteggio totale è non superiore a 30, esso rappresenta il voto finale espresso in trentesimi. Se è 31 o 32, il voto finale è 30/30 o 30 e lode/30, rispettivamente. Per lo svolgimento dell'esame è consentito l'utilizzo di una calcolatrice non programmabile e dei formulari predisposti dai docenti. Non è, invece, consentito (a meno di esplicita autorizzazione) l'uso di libri, quaderni, fogli con esercizi o altro materiale, così come l’utilizzo di qualsivoglia dispositivo elettronico ulteriore rispetto alla calcolatrice precedentemente menzionata. I docenti, a loro discrezione, hanno la facoltà di richiedere una prova orale nel caso in cui ritengano opportuno un approfondimento per verificare il grado di preparazione della/dello studente. In tal caso, la/lo studente è tenuta/o a sostenerla. La prova orale può anche essere richiesta dalla/dallo studente in caso di valutazione maggiore o uguale a 18/30 nella prova scritta. L'eventuale prova orale concorre a determinare il voto finale dell'esame insieme con quella scritta. In particolare, essa può comportare sia l'innalzamento che l'abbassamento del voto conseguito allo scritto in base alla prestazione della/dello studente. In particolare, in caso di esito molto negativo, può anche comportare il non superamento dell'esame.

Gli studenti e le studentesse con disabilità o con Disturbi Specifici di Apprendimento (DSA), oltre alla segnalazione tramite procedura informatizzata, sono invitati a comunicare anche direttamente al/la docente titolare dell'insegnamento, con un preavviso non inferiore ad una settimana dall'avvio della sessione d'esame, gli strumenti compensativi concordati con l'Unità Special Needs, al fine di permettere al/la docente la declinazione più idonea in riferimento alla specifica tipologia di esame.